第三章 排列、组合与二项式定理 章末整合提升1-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

章末整合提升 本章我们学习了基本计数原理、排列与组合，在此基础上学习了二项式定理与杨辉三角，依据各知识之间的联系完成如下的知识结构图． 答案：①A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝　②C＝＝　③C＝C　④C＝C＋C ⑤(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*　⑥Tk＋1＝Can－kbk，其中0≤k≤n，k∈N，n∈N* 类型1　基本计数原理及其应用 1．应用分类加法计数原理，应准确进行“分类”，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”； 2．应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成． 　将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有________种． 【尝试解答】　分别用a，b，c代表3种农作物．先安排第1块田(从左到右数，下同)，有3种种植方法，不妨设种植a.再安排第2块田，可种植b或c，有2种种植方法．不妨设种植b.若第3块田种植c，则第4，5块田分别各有2种种植方法，方法共有2×2＝4种．若第3块田种植a，则第4块田可种植b或c，①若第4块田种植c，则第5块田有2种种植方法，②若第4块田种植b，则第5块田只能种植c，有1种种植方法．综上所述，种植方法共有3×2×(4＋2＋1)＝42种． 【答案】　42 对于比较复杂的计数问题，不能只用分类加法计数原理或只用分步乘法计数原理解决时，可以综合运用两个计数原理．可以先分类，在某一类中再分步；也可先分步，在某一步中再分类． (1)“类中有步”计数问题 用流程图描述计数问题，“类中有步”的情形如图所示． 从A到B视为完成一件事，完成这件事有两类方案，在第1类方案中有3步，在第2类方案中有2步，完成每一步的方法数如图所示，所以完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5. (2)“步中有类”计数问题 用流程图描述计数问题，“步中有类”的情形如图所示． 从计数的角度看，由A到D视为完成一件事，可简单地记为A→D. 完成A→D这件事，需分三步，即A→B，B→C，C→D，其中B→C这一步又分为三类，完成每一步的方法数如图所示，所以完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5. “类”与“步”可进一步地理解为： “类”用“＋”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可. 1．某电路图如图所示． (1)该电路从A到B共有多少条不同线路可以通电？ (2)合上任意两只开关可以接通电路，有多少种不同的方法？ 解：(1)先“分类”再“分步”．从总体上看由A到B的通电线路可分三类：第1类，可以通电的不同线路有2×1＝2条；第2类，有1条线路可以通电；第3类，可以通电的不同线路有2×2＝4条，根据分类加法计数原理，可以通电的不同线路共有2＋1＋4＝7条． (2)第1类，中间线路的开关不合上，不同的方法有2×1＋2×2＝6种；第2类，中间线路的开关合上，有7种不同的方法，因此不同的方法共有6＋7＝13种． 类型2　排列、组合的综合问题 1．高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查． 2．解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则． (1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则． (2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列． (3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则． (4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配． 　先选后排问题 　用数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个．(用数字作答) 【尝试解答】　个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数可分为以下两类： 第1类，个位、十位和百位上的数字为3个偶数，即个位、十位和百位上的数字由2，4，6构成，共有A种排法．千位数字只能从1，3，5中选，所以有C种选法．故本类包含AC个数． 第2类，个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数，先选出这个偶数有C种选法，然后选2个奇数，有C种选法，将3个数排序得到四位数的个位、十位和百位，有A种排法．最后选千位数字，从余下的3个数中选，有C种选法．故本类包含CCAC个数． 综上，根据分类加法计数原理可知，满