4.3.1 第2课时 回归直线方程的性质、相关系数、非线性回归-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　回归直线方程的性质、相关系数、非线性回归 1．理解并掌握回归直线方程的性质，了解非线性回归，会用回归直线方程解决相关实际问题，重点提升数学运算、数据分析核心素养． 2．理解并掌握相关系数的概念及性质，并能判断两个变量之间的线性相关性强弱．重点培养数据分析核心素养． 　回归直线方程的性质: x与y的成对数据如下 x －4 －2 0 2 4 y －21 －11 0 19 29 假设y与x具有相关关系． (1)求出y关于x的回归直线方程． 提示：经计算＝6.5，＝3.2. ∴y关于x的回归直线方程为＝6.5x＋3.2. (2)y关于x的回归直线能否经过点(，)? 提示：∵＝0，＝3.2适合回归直线方程， 故y关于x的回归直线一定过点(，)． (3)指出y与x是正相关还是负相关？ 提示：因为回归直线的斜率k＝＝6.5>0 所以y与x正相关． 回归直线方程的性质 (1)回归直线一定过点(，)． (2)一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是>0，这说明：y与x正相关的充要条件是>0；y与x负相关的充要条件是<0． (3)当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义． 　相关系数、非线性回归 下图是一位同学数学成绩与物理成绩；数学成绩与英语成绩的散点图． 1．由散点图直观上看出，数学成绩与物理成绩，数学成绩与英语成绩哪个相关关系强一些？ 提示：数学成绩与物理成绩的线性相关性强一些． 2．你能分别求出它们之间的回归直线方程吗？ 提示：给定一组成对的数据，总能得到一个回归直线方程，不难想到，如果变量之间的线性相关很弱，那么得到的回归直线方程价值是有限的，甚至是没有价值的． 1．线性相关系数 r＝ ＝ 来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数)． 2．相关系数r的性质 (1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0； (2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值． (3)|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上． 3．非线性回归 随机变量y与x不再是线性相关关系时，称为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程)． 一般地，非线性回归方程的曲线类型可以通过作出散点图进行猜测，而回归方程有时可以通过变量替换后，借助求回归直线的过程确定．当然，确定了非线性回归方程之后，也可以利用它进行预测． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)回归方程＝x＋必经过点(，)．(　　) (2)设回归方程为＝－5x＋3，若变量x增加1个单位，则y平均增加5个单位．(　　) (3)相关系数r越小，两个变量之间的线性相关性越弱．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要(　　) A．6.5 h　　　　　　 B.5.5 h C．3.5 h D.0.5 h 解析：把x＝600代入回归方程中得，＝0.01×600＋0.5＝6.5，故选A. 答案：A 3．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝0.7x＋0.35，那么表中m的值为(　　) x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5 A.4　　　　　　　 B.3.15 C．4.5 D.3 解析：因为回归直线方程一定过点(，)，由已知可求得＝4.5，代入回归直线方程求得＝3.5，则由(2.5＋m＋4＋4.5)＝3.5，解得m＝3，故选D. 答案：D 4．如图所示，有5组数据，去掉________后，剩下的4组数据的线性相关性更强． 解析：根据散点图判定两变量的线性相关性，样本数据点越集中在某一直线附近，这两变量的线性相关性越强，显然去掉D(3，10)后，其余各点更能集中在某一直线的附近，即线性相关性更强． 答案：D(3，10) 　回归直线方程及其应用(重点探究) 　(本节例2迁移)如图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2016～2022 (1)由折线图看出，y与t的线性相关性较强，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归直线方程(系数精确到0.01)，预测2024年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17， ＝0.55，≈2.646.