4.1.1 条件概率-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．1　条件概率与事件的独立性 4．1．1　条件概率 1．在具体情境中，了解条件概率的概念，并能辨别P(A|B)与P(B|A)的区别，重点培养数学抽象核心素养． 2．理解并掌握条件概率公式及其性质，会用条件概率公式解决一些简单的实际问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　条件概率 一个盒中有球的情况如下表，任取一球．设事件A表示取得蓝球，条件B表示取得玻璃球． 玻璃 木质 总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计 6 10 16 (1)计算P(A)、P(B)； 提示：样本空间Ω共包含16个样本点，其中事件A包含11个样本点，故P(A)＝．同理P(B)＝＝． (2)试求取得蓝玻璃球的概率； 提示：依题意即求P(AB)．而事件AB包含4个样本点，故P(AB)＝＝． (3)如果已知取到的是玻璃球，那么该球是蓝球的概率是多少？ 提示：该问题是事件B发生前提下，事件A发生的概率，在B发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数6个”，即把样本空间压缩到玻璃球全体．而在B发生条件下A包含的样本点为蓝玻璃球数4个， 故P(A|B)＝＝． (4)根据(1)(2)(3)的结果，试探求P(B)、P(AB)、P(A|B)三者间的关系． 提示：P(A|B)＝． 1．条件概率的定义 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)． 2．条件概率公式 (1)当P(B)＞0时，有P(A|B)＝． (2)当P(A)＞0时，有P(B|A)＝． (3)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率． 3．条件概率的性质 设A，B，C都是事件且P(A)＞0． (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝1； (3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． [点睛] 1．一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所讲的条件概率则是随机试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，如某一事件A已经发生，求另一事件B在此条件下发生的概率． 2．从集合角度理解条件概率 如图，用单位矩形来表示样本空间Ω，用矩形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件的概率，设A，B是Ω的子集． 条件概率P(B|A)＝，实际上是仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率．几何直观上，相当于B在A内的那部分AB在A中所占的比例． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(B|A)＜P(AB)．(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) (3)P(A|A)＝0．(　　) (4)P(B|A)＝P(A|B)．(　　) 答案：(1)×．因为P(B|A)＝≥P(AB)，所以P(B|A)＜P(AB)是错误的． (2)√．由P(B|A)＝可知，事件A发生的条件下，事件B发生的概率，是AB发生的概率除以事件A发生的概率，所以事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生是正确的． (3)×．由条件概率的公式可知：P(A|A)＝＝＝1，所以P(A|A)＝0是错误的． (4)×．因为P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率．但两者不一定相等，所以P(B|A)＝P(A|B)是错误的． 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　) A．0．2　 B．0．33　　 C．0．5　 D．0．6 解析：记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0．2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0．2． 答案：A 3．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　　) A． B． C． D． 解析：因为P(B|A)＝，所以P(A)＝＝＝． 答案：C 4．把一枚硬币任意掷两次，设事件A：第一次出现正面，事件B：第二次出现正面，则P(B|A)＝________． 解析：P(AB)＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝． 答案： 　利用条件概率公式求概率(多维探究) 　(本节例1迁移)5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求： (1)第一次取到新球的概率； (2)第二次取到新球的概率； (3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率． 【尝试解答】　记“第一次取到新球”为事件A，“第二次取到新球”为事件B