3.3 二项式定理与杨辉三角-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．3　二项式定理与杨辉三角 1．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能解决与二项式有关的简单问题，重点培养数学运算和数学抽象核心素养． 2．了解“杨辉三角”的常见规律，掌握二项式系数的性质与“杨辉三角”的关系，重点培养直观想象核心素养． 　二项式定理 从(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)出发利用组合知识，观察(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3中右边各项是如何形成的？ 提示：(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)，展开式中的任何一项都是在右边3个括号中各取一个字母相乘得到的，因此展开式中每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有a3，a2b，ab2，b3.式右边展开后有多少个a2b呢？要得到a2b，式右边的3个括号中，要有1个取b(剩下的2个均取a)，因此共有C种取法，所以有C个a2b.同理可知，式右边展开后有C个ab2.类似地，a3可以看成式右边的3个括号中取0个b得到的结果，而b3可以看成式右边的3个括号中取3个b得到的结果，因此(a＋b)3＝Ca3＋Ca2b＋Cab2＋Cb3. 二项式定理及相关概念 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 等式右边的式子 二项式系数 C为第k＋1项的二项式系数 二项展开式的 通项公式 Tk＋1＝Can－kbk [点睛] 1.二项展开式的特点：(1)展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；(2)字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n. 2．二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关． 3．在应用通项Tk＋1＝Can－kbk时，要注意： (1)通项是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项． (2)(a＋b)n与(b＋a)n的二项展开式相同，但是(a＋b)n的第k＋1项为Can－kbk，(b＋a)n的第k＋1项为Cbn－kak.因此，应用二项式定理时，a与b是不能随便交换位置的． 　“杨辉三角”与二项式系数的性质 (a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形状： (a＋b)0……………………………………1 (a＋b)1…………………………………1　1 (a＋b)2………………………………1　 2　1 (a＋b)3……………………………1　 3　 3　1 (a＋b)4………………………… 1　4　 6　 4　1 (a＋b)5……………………… 1　5　 10　10　5　1 (a＋b)6…………………… 1　 6　15　20　15　6　1 思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 思考2　二项式系数的最大值有何规律？ 提示：先逐渐变大，再逐渐变小，中间项的二项式系数最大． 1．杨辉三角的主要性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 2．二项式系数的性质 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性与最大值 如果n为偶数，那么展开式中间一项T的二项式系数最大，最大为C 如果n为奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且同时取得最大值，即C n＝C n 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 各二项式系 数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋C＋…＝2n－1 1．思维辨析(对的打“√”错误的打“×”) (1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．(　　) (2)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(　　) (3)二项展开式项的系数是先增后减的．(　　) (4)杨辉三角中每行两端的数都是1.(　　) 答案：(1)×.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与其他数字因数的大小有关． (2)×.在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和． (3)×.二项式系数是随n的增加先增后减的，二项式项的系数和a，b的系数有关． (4)√.根据杨辉三角的性质可知． 2．在的二项展开式中，x2的系数为(　　) A.　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析