3.1.3 第2课时 组合数的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　组合数的应用 1．掌握常见的组合问题的基本类型，能解决含有限制条件的组合应用问题．重点培养数学建模核心素养． 2．会用排列、组合的知识解决排列、组合的综合问题，重点提升逻辑推理、数学建模核心素养． 　分类讨论思想在排列、组合问题中的应用 从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1前面；若只有1和3中的1个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个(用数字作答)． 提示：1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类，分三类：①没有数字1和3时，有A个；②只有1和3中的1个时，有2A个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，有CC个，所以满足条件的三位数共有A＋2A＋C·C＝60个． 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想．这种思想在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近年来的高考试题中占很大比例，在本章中也有着广泛的应用，在进行分类讨论时，必须保证分类科学、统一，不重复、不遗漏，力求简洁． 1．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　) A．60种　　　　　　 B．70种 C．75种 D．150种 解析：由题意知，选2名男医生、1名女医生的选法有CC＝75种． 答案：C 2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加武汉某社区志愿者服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　) A．14 B．24 C．28 D．48 解析：由题意，至少有1名女生的选派方案有C－C＝14种． 答案：A 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________(用数字作答)． 解析：CC＝210种． 答案：210 4．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答) 解析：若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260. 答案：1 260 　“至多”“至少”型组合应用问题(小组探究) 　(本节例4改编) 为了支援某地突发灾情，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某地急诊前线，其中这10名医疗专家中有4名是中医专家，问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是中医专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名中医专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名中医专家的抽调方法有多少种？ 【尝试解答】　(1)分步：首先从4名中医专家中任选2名，有C种选法，再从除中医专家外的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法． (2)方法一　(直接法)按选取的中医专家的人数分类； ①选2名中医专家，共有C·C种选法； ②选3名中医专家，共有C·C种选法； ③选4名中医专家，共有C·C种选法， 根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法． 方法二　(间接法)不考虑是否有中医专家，共有C种选法，考虑选取1名中医专家参加，有C·C种选法；没有中医专家参加，有C种选法，所以共有C－C·C－C＝185种抽调方法． (3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答． ①没有中医专家参加，有C种选法； ②有1名中医专家参加，有C·C种选法； ③有2名中医专家参加，有C·C种选法； 所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法． “至多”“至少”型组合问题的常用解题方法 1．直接法，应坚持“特殊元素优先选取”的原则，注意分类要细要全； 2．间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 1．某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8名学生组成“抗疫志愿者”服务队支援武汉． (1)如果小组中至少有3名女生，有多少种不同的选法？ (2)如果小组中至少有5名男生，有多少种不同的选法？ (3)如果小组中至多有3名女生，有多少种不同的选法？ 解：(1)至少有3名女生的选法可分为如下四类：有3名女生有C·C种选法；有4名女生有C·C种选法；有5名女生有C·C种选法；有6名女生有C·C种选法，所以至少有3名女生共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝8 955种选法． (2)至少有5名男生的选法可分为如下四类：有5名男生有C·C种选法；有6名男生有C·C种选法；有7名男生有C·C种选法；有8名男生有C·C种选法．所以至少有5名男生共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝8 955种选法． (3)至多有3名女生的选法可分为如下四类：不含女生有C种选法；有1名女生有