3.1.3 第1课时 组合与组合数-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系，重点培养数学抽象核心素养． 2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，组合数的性质，并能简单应用．重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　组合与组合数 下面这两个计数问题的答案一样吗？ (1)小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ (2)小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？ 选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的关系． 提示：问题(1)选出的学校是要排列顺序的是排列问题，问题(2)选出的学校不需要排列顺序． 问题(1)的答案是A，设问题(2)的答案是x，根据分步乘法计数原理可知A＝xA，从而x＝＝3. 1．组合的定义 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 2．组合数的定义、公式 组合数定义 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示． 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ [点睛] 1．排列与组合的异同点 排列 组合 相同点 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 与元素的顺序有关 与元素的顺序无关 2.排列问题和组合问题的区分方法 排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关 组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关 　组合数的性质 在了解敬老院可以进行哪些爱心活动的走访中，要将5位同学分成两组，一组2人，另一组3人，有两种不同的做法： (1)选出2人做为一组，另外3人是另一组； (2)选出3人作为一组，另外2人是另一组． 用组合数符号分别表示(1)和(2)所得的分法种数，说明所得结果之间的关系，并将结果推广到一般情况． 提示：根据组合和组合数公式可知，问题(1)和问题(2)所得的分法种数分别为C和C，而且C＝10，C＝10.因此C＝C.推广到一般情况为C＝C. 组合数的性质 (1)性质1：C＝C；(2)性质2：C＝C＋C． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从a，b，c三个不同的元素任取两个元素的一个组合是C.(　　) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C个积．(　　) (3)1，2，3与3，2，1是同一个组合．(　　) (4)C＝5×4×3＝60.(　　) 答案：(1)×.C是组合数而不是组合． (2)√.取出的两个数的积，与取出两个数的顺序无关，是一个组合问题，有C个积． (3)√.组合与元素的顺序无关． (4)×.C＝＝10. 2．若C＝C，则x的值为(　　) A．2　　 B．4　　　 C．4或2　　 D．3 解析：C＝C，∴x＝2或6－x＝2，∴x＝2或x＝4. 答案：C 3．计算C＋C＋C的值为(　　) A．120　　　　　　 B．240 C．60 D．480 解析：C＋C＋C＝C＋C＝C＝120. 答案：A 4．下面几个问题是组合问题的有__________个． ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种不同的选法？ ③有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，不同的选法种数； ④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ 解析：①有顺序是排列问题，②③④都无顺序是组合问题． 答案：3 　与组合数有关的计算与证明(小组探究) 　(本节例2迁移)(1)计算：①C－C·A＝__________． ②C＋C＝__________． 【尝试解答】　①C－C·A＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. ②由得 所以n＝10.所以原式＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466. 【答案】　①0　②466 (2)证明：mC＝nC. 【尝试解答】　证明：因为左边 ＝m·＝ ＝n＝nC＝右边， 所以mC＝nC. 关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用 C＝进行计算. (2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算. (3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． 1．(1)计算：C＋C·C. (2)求等式＝中的n值． 解：(1)原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006. (2)原方程可变形为＋1＝，C＝·C，即 ＝·，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求． 　简单的组合应用题(互动探究)