3.1.2 第2课时 排列数的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　排列数的应用 1．进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算，重点培养数学运算核心素养． 2．能运用基本计数原理和排列的相关知识解决一些排列的应用题，掌握解排列应用题的常用方法，重点提升数学建模核心素养． 　排列数的应用 6人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙站在两端． 提示：(1)方法一　要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置选一位置，共有AA＝480种站法． 方法二　两端可先让其他5人选两人站位，再排列，共有AA＝480种站法． 方法三　若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A－2A＝480种站法． (2)方法一　先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝240种站法． 方法二　先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A种站法，再有5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A种方法，最后让甲、乙全排列，有A种方法，共有A·A·A＝240种站法． (3)先把甲、乙以外的4个人全排列，再在5个空档中选两位置排甲、乙共有AA＝480种不同站法． (4)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝48种站法． 求解排列实际问题的基本步骤： 1．某班在甲、乙、丙、丁四位候选人中，选正、副班长各1人，不同的选法数为(　　) A．6　　　　　　　 B．12 C．16 D．24 解析：不同的选法数为A＝12种． 答案：B 2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有(　　) A．48个 B．36个 C．24个 D．18个 解析：个位数字是2的有3A＝18个，个位数字是4的有3A＝18个，所以共有36个． 答案：B 3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__________条毕业留言．(用数字作答) 解析：由题意知，此题为排列问题，故全班的毕业留言共有A＝40×39＝1 560条． 答案：1 560 4．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的排法有__________种． 解析：第一步，两个女生相邻有A种排法；第二步，将她们看成一个整体与其他两位男生全排列，有A种排法，根据分步乘法计数原理，得两位女同学相邻的排法共有AA＝12种． 答案：12 特殊元素或特殊位置问题(多维探究) 　(本节例5，例6拓展)(一题多解)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？ 【尝试解答】　方法一　(元素分析法)从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种排法，然后安排其他三棒，有A种排法,此时有2A种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋2A＝240种． 方法二　(位置分析法)优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲外的5人中选2人，有A种排法；其余两棒从剩余4人中选，有A种排法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240种． 方法三　(间接法)不考虑甲的约束条件，有A种安排方法，甲跑第一棒或第四棒有2A种安排方法，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A－2A＝240种． “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先．,一般从以下三种思路考虑：(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化为下图． 当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决． 1．用0，1，2，3，4，5共6个数字，可以组成__________个没有重复数字的六位奇数． 解析：方法一　(从特殊位置入手)(1)从个位入手：个位上的数字的排法有A种，十万位上的数字的排法有A种，余下的数字可以在其余各位上进行全排列，有A种．由分步乘法计数原理知，符合题意的六位奇数共有A·A·A＝288个． (2)从十万位入手：十万位排定后，个位数字的排法与十万位所排数字是奇数还是偶数有关，因此，需分2类．第1类，十万位排奇数的六位奇数有A·A个；第2类，十万位排偶数的六位奇数有