3.1.2 第1课时 排列与排列数-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 1．理解排列、全排列的意义．掌握排列数公式及其推导方法，重点培养数学抽象核心素养． 2．能用树形图写出一个排列问题的所有排列，并能用排列数公式解决一些简单问题，重点提升数学运算核心素养. 　排列与排列数 [问题情境]　为提高员工身体素质，某公司举行职工运动会，其中编务部(A)、营销部(B)、行政部(C)参加篮球比赛． (1)试按名次顺序列举所有可能的结果； 提示：所有可能结果为ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA. (2)(1)中的各结果有什么不同之处？ 提示：顺序不同． (3)根据分步乘法计数原理你能求出按名次顺序一共有多少种排列吗？ 提示：能，共有3×2×1＝6种． 1．排列与全排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 2．排列数及其公式 (1)排列数定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． (2)排列数公式 A＝ ＝n(n－1)…(n－m＋1)，这个公式称为排列数公式．特别地，当m＝n时，A＝n×(n－1)×…×2×1＝n! [点睛] 1．排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． 2．一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法． 3．在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别． 4．“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m，n都是正整数，m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．(　　) (2)在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．(　　) (3)用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数，123与321是不相同的排列．(　　) (4)圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10名学生中抽2名学生开会；②从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表；③从数字5，6，7，8中任取两个不同的数做幂运算． A．①　　 B．②　　 C．③　　 D．②③ 答案：D 3．9×10×11×…×20可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 解析：A＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×…×9. 答案：C 4．从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有______个． 解析：A＝3×2＝6. 答案：6 利用排列数公式化简与求值(小组探究) 　(1)4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　) A．A　　　　　　 B．A C．n！－4! D．A 【尝试解答】　从4，5，…到n共n－4＋1＝n－3个数，所以根据排列数公式知4×5×6×…×(n－1)×n＝A. 【答案】　D (2)①计算A和A； ②用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n＜55)； ③化简n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)． 【尝试解答】　①A＝15×14×13＝2 730，A＝6×5×4×3×2×1＝720. ②因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. ③由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)＝A. 1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． 2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． 1．(1)已知A＝11×10×9×8×…×5，则m＋n为________． 解析：1因为A＝11×10×9×8×…×5，所以n＝11，m＝(11－5)＋1＝7，m＋n＝18. 答案：18 (2)计算：. 解析：＝＝＝. 答案： 与排列数有关的方程、不等式问题(迁移探究) 　(本节例2迁移)(1)已知A＝2A，则logn25的值为(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．4 D．不确定 【尝试解答】