3.1.1 基本计数原理-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

3．1　排列与组合 3．1.1　基本计数原理 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．重点培养数学抽象核心素养． 2．能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”解决一些简单的实际问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　分类加法计数原理 [问题情境] 随着我国人民生活水平的不断提高，“家庭理财”已经成为普通家庭经常关注的问题．理财方式有很多，相对较稳定的有人民币定期储蓄和购买国债两种形式，其中人民币定期储蓄有一年期、二年期、三年期和五年期四种，购买国债有一年期、二年期和三年期三种． 某公司职员史先生正处试用期，收入有限，计划从上述方案中选择一种方法来投资，问：史先生共有多少种不同的理财方法？ 提示：史先生有两类不同的选择：第一类，从四种人民币定期储蓄中任意选择一种投资方法；第二类，从三种国债中任意选择一种投资方法，以上任选一种方法都能达到理财的目的，因此史先生共有4＋3＝7种不同的理财方法． 分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． [点睛] “完成一件事有n类方法”是指完成这件事的所有方法可分为n类，即用任何一类中的任何一种方法都可以做完这件事，而不需要再用其他方法；每一类没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中． 　分步乘法计数原理 根据分类加法计数原理中的问题情境思考下面的问题： (1)史先生工作努力，工资收入有了较大提高，可从两种投资形式中各选择一种方法同时投资，问：史先生共有多少种不同的理财方法？ 提示：不妨设四种定期储蓄为A1，A2，A3，A4，三种购买国债为B1，B2，B3，从这两种投资形式中各选择一种，用列举法为，.共有12种． (2)观察此处的结果与两种投资的种数之间有什么关系. 提示：4×3＝12即为两种投资的种数之积，为本问题中史先生的12种不同的理财法． 分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． [点睛] 1．分步乘法计数原理中“完成一件事需要n个步骤”是指完成这件事的任何一种方法都要分成n个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成所有这些步骤才能完成这件事，即步与步之间是连续的、缺一不可的，且不能重复、交叉．简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”． 2．两个计数原理的区别 　原理 区别　 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 区别二 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 区别三 用其中任何一种方法都可以做完这件事 只有各个步骤都完成才算做完这件事 　　　　 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出26＋10＝36种不同的号码．(　　) (3)在分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事．(　　) 答案：(1)×.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法．(2)√.因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0～9共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码．(3)√.在分类加法计数原理中的每一种方法都是独立的，可单独完成这件事． 2．某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人，从中选一人担任学生会主席，共有__________种不同选法．(　　) A．100　　　　　　　 B．102 C．152 D．50 解析：这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生，根据分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法． 答案：C 3．现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为(　　) A．7　　 B．12　　　 C．64　　 D．81 解析：完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法．所以根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同的搭配法． 答案：B 4．用1，2，3这三个数字能写出__________个没有重复数字的偶数． 解析：用1，2，3这三个数字能写出1个一位偶数，2；用1，2，3这三个数字能写出2个没有重复数字的两位偶数，12，32；用1，2，3这三个数字能写出2个没有重复数字的三位偶数，132，312.所以用1