6.1.5 向量的线性运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

6．1.4　数乘向量 6．1.5　向量的线性运算 [素养目标]　1.掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义，培养直观想象核心素养．　2.掌握线性运算的运算律，并能进行向量的线性运算，提升数学运算核心素养． 　数乘向量 1．数乘向量的定义及几何意义 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： ①当λ＞0时，与a的方向相同； ②当λ＜0时，与a的方向相反． (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－a＝(－1)a. 2．一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线． 3．线性运算的运算律 设λ、μ为实数，那么： (1)结合律：λ(μa)＝(λμ)a． (2)第一分配律：λa＋μa＝(λ＋μ)a． (3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb． [预习诊断] 1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b　　　　　 B．a C．a－6b D．a－8b 解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b. 答案：D 2．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　) A．－2 B． C．－ D．2 解析：如图，＝3，所以＝2. 答案：D 3．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a. 解析：由于|a|＝4，|b|＝8则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a. 答案：2 4．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－. 答案：；－ 　向量的线性运算(小组探究) 　(1)化简： ； (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． 【尝试解答】　(1)原式＝ ＝ ＝＝a－b. (2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b ＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝i＋j ＝－i－5j. 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解． 1．若＝0，求x. 解：4a－x－a＋x＝0， ∴x＝a.∴x＝a. 　用已知向量表示未知向量(变通探究) 　(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b　　　　　　　 B．a＋b C．a＋b D．a－b (2)如图所示，四边形OADB是平行四边形，＝a，＝b，又＝，＝，试用a、b表示、、. 【审题指导】　(1)用b表示，用三角形法则表示. (2)用a，b表示→→ 【素养立意】　本题考查线性运算的应用(用已知向量表示未知向量)，突出考查直观想象核心素养． 【尝试解答】　(1)因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 答案：D (2)因为＝－＝a－b， 所以＝＝＝(a－b)， 所以＝＋＝b＋(a－b)＝b＋a－b＝a＋b. 又由＝＋＝a＋b，得 ＝＋＝＝a＋b. 所以＝－ ＝－ ＝a－b. 【变式拓展】 变式本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝，b＝，用a，b表示. 解：由题意解得 所以＝－＝a＋b. 　用已知向量表示其他向量的两种方法 1．直接法 2．方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 2.如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量． (1)＝________； (2)＝________． 解析：因为∥，||＝2||， 所以＝2，＝. (1)＝＋＝e2＋e1. (2)＝＋＋ ＝－－＋ ＝－e1－e2＋e1＝e1－e2. 答案：(1)e2＋e1　(2)e1－e2 　向量平行及三点共线问题(重点探究) 　 (1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，判断A，B，D三点是否共线，并求的值． (2)如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，证明：四边形EFGH为平行四边形． 【尝试解答】　(1)∵＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2. 又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴＝2，∴∥. ∵AB与BD有交点B，∴A，B，