4.5 增长速度的比较-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．5　增长速度的比较 [素养目标]　1.通过平均变化率比较指数函数、对数函数及一次函数的增长速度的差异，培养直观想象核心素养．　2.结合实例体会指数增长、线性增长等不同函数类型增长的含义，提升数学建模核心素养． 　用平均变化率来比较函数的增长速度 1．函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为 ＝． 也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢． 2．三种函数的增长速度的比较 函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)，y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上： (1)单调性：增函数． (2)增长速度：y＝ax(a＞1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢． (3)存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn＞loga_x． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　) (2)函数y＝logx衰减的速度越来越慢．(　　) (3)当0＜a＜1，n＜0时，存在一个x0，当x＞x0时有ax＞xn＞logax.(　　) 解析：(1)因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值． (2)由函数y＝logx的图象可知其衰减的速度越来越慢． (3)总会存在一个x0，使x＞x0时，xn＞ax＞logax. 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　) A．y＝3x　　　　　 B．y＝1000x C．y＝log2x D．y＝x3 解析：指数函数模型增长速度最快． 答案：A 3．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1 解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3. 答案：B 4．函数f(x)＝2x－8，g(x)＝3x，h(x)＝log2x在区间[1，2]上的平均变化率分别为__________、__________、__________． 解析：＝2，＝＝6，＝＝1. 答案：2；6；1 　求函数的平均变化率(小组探究) 　(课本例1例2变式)已知函数f(x)＝5x，g(x)＝x＋9，h(x)＝log6x.分别计算这三个函数在区间[m，m＋1](m＞1)上的平均变化率，并比较它们的大小． 【尝试解答】　＝＝4×5m， ＝1， ＝＝log6. ∵m＞1，∴4×5m＞4×5＝20. log6＜log6＜log62＜log66＝1， ∴＞＞. 比较函数平均变化率大小的方法步骤 (1)先求Δf＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝f(x2)－f(x1)； (2)再求平均变化率； (3)根据平均变化率，比较大小． 1．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝log1 000x.分别计算这两个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率，并比较它们的大小． 解：＝2a，＝log1000. ∵a＞1，∴2a＞21＞1， 而log1000＜log10002＜1. ∴2a＞log1000. 　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较(重点探究) 　已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出它们的图象，并结合图象比较f(8)，g(8)，f(2020)，g(2020)的大小． 【审题指导】　由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况． 【素养立意】　本题主要考查指数函数及幂函数模型，突出考查数学直观的核心素养． 【尝试解答】　列表： x … －1 0 1 2 3 … f(x) … 1 2 4 8 … g(x) … －1 0 1 8 27 … 描点、连线，得如图所示图象： 则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1. 因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729， f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024， 所以f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2，9＜x2＜10，所以x1＜8＜x2＜2020. 从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；当x＞x2时，f