4.4 幂函数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．4　幂函数 [素养目标]　1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式，发展数学抽象核心素养． 2．掌握幂函数性质，并能比较指数幂的大小，提升数学运算核心素养． 　幂函数的概念、图象和性质 1．形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数． 2．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)． (2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． [预习诊断] 1．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过(　　) A．第四象限　　　　 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 解析：由幂函数的图象与性质知选A． 答案：A 2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　) A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x 解析：函数y＝x，y＝x3，y＝x在各自定义域上均是增函数，y＝x2在(－∞，0)上是减函数． 答案：B 3．已知幂函数f(x)满足f(3)＝27，则f(x)的表达式是(　　) A．f(x)＝x－3 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝3x 解析：设f(x)＝xα，则3α＝27＝33，∴α＝3，∴f(x)＝x3. 答案：B 4．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调增区间是________． 解析：由题意得9＝3α， 所以32＝3α，∴α＝2，所以f(x)＝x2. 所以二次函数f(x)＝x2的单调增区间是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 　幂函数的概念(小组探究) 　(1)幂函数f(x)的图象过点，则f(3)＝________． (2)已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式． 【尝试解答】　(1)设f(x)＝xα，则2α＝，所以α＝log2＝－2.所以f(x)＝x－2.所以f(3)＝3－2＝. 答案： (2)∵f(x)＝x(m∈Z)是偶函数， ∴m2－m－2为偶数． 又∵f(x)＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数， ∴m2－m－2＜0，即－1＜m＜2. ∵m∈Z，∴m＝0或m＝1. 当m＝0时，m2－m－2＝－2为偶数，当m＝1时，m2－m－2＝－2为偶数． ∴f(x)的解析式为f(x)＝x－2. 幂函数的解析式y＝xα中仅含有一个常数α，则只需要一个条件即可确定幂函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等，通常利用待定系数法求解，设出幂函数的解析式为f(x)＝xα，利用已知条件列方程求出常数α的值． 1．已知幂函数f(x)满足f＝3，则f(x)的表达式是(　　) A．f(x)＝x－3　　　 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝3x 解析：设f(x)＝xα，由题意知＝3，即3α＝3，∴α＝－3.∴f(x)＝x－3. 答案：A 　幂函数的图象及应用(变通探究) 　(1)在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　) (2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是__________． (3)当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限． 【尝试解答】　(1)对A，没有幂函数的图象；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a＞1，g(x)＝logax中0＜a＜1，不符合题意；对C，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中a＞1，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中0＜a＜1，符合题意． (2)过原点的指数α＞0，不过原点的α＜0，所以n＜0，当x＞1时，在直线y＝x上方的α＞1，下方的α＜1，所以p＞1，0＜m＜1，0＜q＜1；x＞1时，指数越大，图象越高，所以m＞q，综上所述n＜q＜m＜p. (3)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限． 答案：(1)D　(2)n＜q＜m＜p　(3)四 【变式拓展】 变式　若本例(3)中条件改为：“α∈{－3，，}”时，则幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限． 解析：幂函数y＝x－3，y＝x的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限． 所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第二、四象限． 答案：二、四 　解决幂函数图象问题应