4.2.3 第2课时 对数函数性质的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　对数函数性质的应用 [素养目标]　1.理解对数函数的单调性，并能用单调性比较大小，解不等式，提升逻辑推理核心素养． 2．掌握对数函数的性质和图象，并能综合应用，提升数学运算核心素养． 　对数函数的性质与图象 a＞1 0＜a＜1 x＞1 logax＞0 logax＜0 0＜x＜1 logax＜0 logax＞0 [预习诊断] 1．函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域为(　　) A．(3，＋∞)　　　　 B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 解析：因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3. 答案：C 2．已知f(x)＝log3x，则f，f，f(2)的大小关系是(　　) A．f＞f＞f(2) B．f＜f＜f(2) C．f＞f(2)＞f D．f(2)＞f＞f 解析：因为f(x)＝log3x，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数． 又因为2＞＞，所以f(2)＞f＞f. 答案：B 3．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是(　　) A．(0，2] B．[－2，＋∞) C．(－∞，－2] D．[2，＋∞) 解析：－x2＋3x＋4＝－＋≤，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)． 答案：B 4．如果loga＜1(a＞0，且a≠1)，那么a的取值范围是________． 解析：因为loga＜1＝logaa，所以当0＜a＜1时，＞a；当a＞1时，＜a.解得0＜a＜或a＞1. 答案：∪(1，＋∞) 　比较数值的大小(小组探究) 　(课本例1拓展)比较下列各组中两个值的大小． (1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.141. 【尝试解答】　(1)(单调法)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)． 所以log31.9＜log32. (2)(中间量法)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32. (3)(分类讨论)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141. 综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141. 对数值大小的比较方法 (1)若底数为同一常数，则可利用对数函数的单调性进行判断； (2)若底数为同一字母，则可根据对数函数的单调性对底数进行分类讨论； (3)若底数不同，真数相同，则可利用对数函数的图象或换底公式化为同底数的对数，再作比较； (4)若底数、真数均不相同，则可借助中间值－1，0，1等与其作比较． 1．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　) A．a＞b＞c　　　　 B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 解析：∵log3＜log2＜log2， ∴b＞c. 又log2＜log22＝log3 3＜log3π， ∴b＜a.故a＞b＞c.故选A． 答案：A 　与对数函数有关的值域问题(变通探究) 　(1)已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域是(　　) A．[－1，1] B． C． D． (2)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1. ①求f(x)的定义域； ②当a＝时，求f(x)的最小值． 【尝试解答】　(1)由－1≤2logx≤1，得－≤logx≤，即log≤logx≤log，解得≤x≤. 答案：B (2)①欲使函数有意义，则有 解得－3＜x＜1，则函数的定义域为(－3，1)． ②因为f(x)＝log[(1－x)(x＋3)]， 所以f(x)＝log(－x2－2x＋3)， 配方得到f(x)＝log[－(x＋1)2＋4]． 因为－3＜x＜1，故0＜－(x＋1)2＋4≤4， 所以log[－(x＋1)2＋4]≥log4＝－2(当x＝－1时取等号)，即f(x)的最小值为－2. 【变式拓展】 变式　本例(1)中，若将函数“f(x)＝2logx”改为“f(x)＝2log4x”，其他条件不变，结果如何？ 解：函数f(x)＝2log4x在(0，＋∞)上为增函数，则由－1≤2log4 x≤1， 可得－1≤log2x≤1， 解得≤x≤2. 　求函数值域的常用方法 1．单调性法： 根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域． 2．换元法： 求形如y＝logaf(x)型函数的值域的步骤：①换元，令u＝f(