4.2.3 第1课时 对数函数的图象与性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的图象与性质 [素养目标]　1.通过具体实例，了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，重点培养数学抽象核心素养．　2.探索对数函数的图象与性质，并能简单应用，重点提升直观想象核心素养． 　对数函数的概念 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.x是自变量． 　对数函数的图象与性质 对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 (－∞，＋∞) 过定点 (1，0)，即当x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2(2x＋1)是对数函数．(　　) (2)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)函数y＝loga(x＋1)(a＞0且a≠1)的图象过定点(0，0)(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为(　　) A．(－∞，1)　　　　 B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：函数有意义需满足x－1＞0，所以x＞1. 答案：C 3．(多选)函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　) A．5 B．2 C． D． 解析：因为函数y＝logax的图象一直上升，所以函数y＝logax为增函数，所以a＞1. 答案：AB 4．已知f(x)＝log25x，则f(5)＝________． 解析：f(5)＝log255＝log55＝. 答案： 　对数函数的概念及应用(小组探究) 　(1)已知下列函数： ①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝ln x(x＞0)；④y＝log(a2＋a)x(x＞0，a是常数)．其中是对数函数的是________．(只填序号)． (2)已知对数函数f(x)的图象经过点，则f(3)的值为________． 【尝试解答】　(1)对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x, 故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故填③. (2)设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)， ∵对数函数f(x)的图象经过点， ∴f＝loga＝2.∴a2＝. ∴a＝＝＝.∴f(x)＝logx. ∴f(3)＝log3＝log＝－1. 答案：(1)③　(2)－1 1.判断一个函数是对数函数必须满足以下条件： (1)系数为1； (2)底数为大于0，且不等于1的常数； (3)对数的真数仅含有自变量x. 2．对数函数解析式中只有一个参数a，用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出． 1．(1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________． 解析：∴a＝1. 答案：1 (2)已知对数函数的图象过点，则f(4)＝________． 解析：设f(x)＝logax，过点， ∴－4＝loga，即a－4＝2－4，∴a＝2， f(x)＝log2x，∴f(4)＝log24＝2. 答案：2 　对数型函数的定义域及函数值问题(变通探究) 　(1)(课本例3变式)下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 (2)已知函数f(x)＝那么f的值为(　　) A．8　　 B．　　　 C．－8　　 D．－ (3)求下列函数的定义域 ①f(x)＝log5(1－x)； ②f(x)＝log(1－x)5； ③f(x)＝； ④f(x)＝log(2x－1). 【尝试解答】　(1)A项中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}． 答案：C (2)f＝log3＝－3， f＝f(－3)＝2－3＝. 答案：B (3)①要使函数式有意义，需1－x＞0，解得x＜1，所以函数f(x)＝log5(1－x)的定义域是{x|x＜1}． ②要使函数式有意义，需解得x＜1，且x≠0， 所以函数f(x)＝