4.2.2 对数运算法则-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．2.2　对数运算法则 [素养目标]　1.理解对数的运算法则，并能运用运算法则化简、求值，重点提升数学运算核心素养． 2．掌握换底公式及其推论，并能综合对数运算法则熟练进行对数的运算，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　积、商、幂的对数 对数的运算法则 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN， (2)logaMα＝αlogaM， (3)loga＝logaM－logaN， 其中，a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R. 1．对于法则(1)可以推出loga(M1·M2……Mn) ＝logaM1＋logaM2＋…＋logaMn(其中Mi＞0)． 2．对数运算法则的前提是M＞0，N＞0，否则不成立．如log3(－4)×(－5)＝log3(－4)＋log3(－5)不成立． 　换底公式 换底公式：logab＝(其中a＞0且a≠1，b＞0，c＞0且c≠1)． 　对数换底公式常见的两种变形 (1)logab·logba＝1，即＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2)logMm＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　) (2)log3[(－4)×(－5)]＝log3(－4)＋log3(－5)．(　　) (3)log2(－3)2＝2log2(－3)．(　　) (4)lg 2＋lg 5＝1.(　　) (5)log48＝log2 3.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．若lg 2＝m，则lg 5＝(　　) A．m　　 B．　　　 C．1－m　　 D． 解析：因为lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝1. 所以lg 5＝1－lg 2＝1－m. 答案：C 3．计算：2log510－log54＝________． 解析：2log510－log54＝log5102－log54 ＝log5 ＝log525＝2. 答案：2 4．计算：log23·log34＝________． 解析：log23·log34＝·＝＝2. 答案：2 　对数运算法则的应用(小组探究) 　(课本例1例2变式)计算下列各式的值： (1)log2＋log224－log284； (2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 【尝试解答】　(1)(一题多解)法一：原式＝ log2＝log2＝－. 法二：原式＝log2＋log2(23×3)－log2(22×3×7)＝log27－log2(25×3)＋3＋log23－1－log23－log27＝－×5－log23＋2＋log23＝－＋2＝－. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3. 　对数的运算性质在解题中的两种应用 提醒：对数的运算性质主要用于化简与求值，它只适用于同底的对数的化简． 1．计算下列各式的值： (1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18； (2). 解：(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(2×9)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－lg 2－2lg 3＝0. (2)＝＝＝. 　换底公式的应用(变通探究) 　(课本例3拓展)已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456. 【尝试解答】　因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝， log1456＝＝ ＝ ＝＝. 【变式拓展】 变式1　本例条件不变，试用a，b表示log2898. 解：log2898＝＝＝＝. 变式2　若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他不变，则结论又如何呢？ 解：因为3b＝2，所以b＝log32，log1456＝＝＝. 　利用换底公式化简与求值的思路 2．(1)计算：log23·log34·log45·log52. (2)已知log142＝a，用a表示log7. 解：(1)原式＝···＝1. (2)∵log142＝a，∴log214＝. ∴1＋log27＝.∴log27＝－1. ∴log7＝＝＝2log27＝. 　对数运算的综合应用(重点探究) 　(1)方程log2(9x＋5)＝1＋log2(3x＋4)的解集为________． (2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. ①求p的值； ②证明：－＝. 【审题指导】　(1)求与方程有关的对数问题时，先应用对数运算法则，再采用定义法、转化法、