4.2.1 对数运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．2　对数与对数函数 4．2.1　对数运算 [素养目标]　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念，掌握对数的性质，重点发展数学抽象核心素养． 2．掌握指数式与对数式的互化，会用对数的定义和性质求简单的对数值，重点提升数学运算核心素养． 　对数的概念 1．指数式与对数式的互化及有关概念 2．底数a的范围是a>0且a≠1． 1．从三个方面认识对数式 (1)对数式logaN可看作一种记号，只有在a＞0，a≠1，N＞0时才有意义． (2)对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab＝N求b的前提下提出的． (3)logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是loga与N的乘积． 2．当a＞0且a≠1时，b＝logaN⇔ab＝N. 　对数的性质 [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数x，使得x＝log(－2)8.(　　) (2)ln(ln e)＝0.(　　) (3)若10＝lg x，则x＝100.(　　) (4)若3x＝2，则x＝log23.(　　) 解析：(1)错误，∵对数的底数范围是大于零且不等于1； (2)∵ln e＝1，∴ln 1＝0，故(2)正确； (3)∵10＝lg x，∴x＝1010，故(3)错误； (4)∵3x＝2，∴x＝log32，故(4)错误． 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．把对数式loga49＝2写成指数式为(　　) A．a49＝2　　　　　 B．2a＝49 C．492＝a D．a2＝49 解析：∵loga 49＝2，∴a2＝49，故选D． 答案：D 3．求下列各式的值： (1)log636＝________； (2)ln e3＝________； (3)log50.2＝________； (4)lg 0.01＝________． 解析：(1)log6 36＝2. (2)ln e3＝3. (3)log50.2＝log55－1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2. 答案：(1)2　(2)3　(3)－1　(4)－2 4．若log3＝1，则m＝________． 解析：因为log3＝1，所以＝3，解得m＝4. 答案：4 　对数的概念(小组探究) 　(1)若N＝a5(a＞0，a≠1)，则有(　　) A．loga5＝N　　　　 B．logaN＝5 C．logN5＝a D．logNa＝5 (2)若对数log(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是(　　) A．≤x＜2 B．＜x＜2 C．＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3 (3)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： ①2－7＝； ②log32＝－5； ③lg 1000＝3; ④ln x＝2. 【尝试解答】　(1)由N＝a5化为对数式为logaN＝5. 答案：B (2)x应满足所以x＞且x≠2，即＜x＜2或x＞2. 答案：C (3)①由2－7＝，可得log2＝－7. ②由log32＝－5，可得＝32. ③由lg 1000＝3，可得103＝1000. ④由ln x＝2，可得e2＝x. 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式： 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式： 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)4－3＝； (2)＝3.76； (3)lg 100＝2； (4)ln ＝. 解：(1)log4＝－3. (2)log3.76＝m. (3)102＝100. (4)e＝. 　利用指数式与对数式的互化求值(变通探究) 　(课本例2变式)(1)求下列各式的值： ①log327＝________； ②log0.51＝________； ③ln e＝________． (2)求下列各式中x的值： ①x＝log27； ②logx＝－4. 【尝试解答】　(1)①设log327＝x，则3x＝27，x＝3，所以log327＝3. ②设log0.51＝x，则0.5x＝1，x＝0，所以log0.51＝0. ③设ln e＝x，则ex＝e，x＝，所以ln e＝. 答案：①3　②0　③ (2)①因为x＝log27，所以27x＝，即33x＝3－2，所以x＝－. ②因为logx＝－4，所以x＝＝16. 【变式拓展】 变式1　本例(2)②变为logx＝－4，则x的值为________． 解析：x－4＝即x4＝2.又x＞0且x≠1，故x＝. 答案： 变式2　本例(2)①变为：－ln e2＝x，则x的值为________． 解析：ln e2＝－x，∴e－x＝e2，即x＝－2. 答案：－2 　求对数值的三个步骤 (1)设：设出所求对数值． (