4.1.2 第2课时 指数函数性质的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

第2课时　指数函数性质的应用 [素养目标]　1.能利用指数函数的性质解不等式，比较大小，重点提升数学运算核心素养．　2.指数函数与函数基本性质的综合应用，重点提升逻辑推理核心素养． 　指数函数的性质 1．对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： (1)当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，ax＞bx＞1. 2．对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)： (1)当x＜0时，ax＞bx＞1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，0＜ax＜bx＜1. [预习诊断] 1．下列判断正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73　　　 B．0.82＜0.83 C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5 解析：∵y＝0.9x在定义域上是减函数，又0.3＜0.5， ∴0.90.3＞0.90.5. 答案：D 2．当x＞0时，指数函数(a－1)x＜1恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞2 B．1＜a＜2 C．a＞1 D．a∈R 解析：∵x＞0时，(a－1)x＜1恒成立， ∴0＜a－1＜1，即1＜a＜2. 答案：B 3．不等式2x＞1的解集为________． 解析：2x＞20，∴x＞0. 答案：(0，＋∞) 4．函数y＝的单调区间为________． 解析：y＝＝2x－1，故函数的增区间为(－∞，＋∞)． 答案：(－∞，＋∞) 　比较幂值大小(小组探究) 　(课本例1变式)(1)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b (2)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【尝试解答】　(1)a＝0.771.2，0＜a＜1， b＝1.20.77＞1，c＝π0＝1，则a＜c＜b. (2)对于指数函数y＝ax，若x＜0，则当0＜a＜1时，有ax＞1；当a＞1时，有0＜ax＜1. 所以0＜＜1，＞1，＞1. 又因为函数y＝在R上是减函数，且－＜－， 所以＞. 综上知，＞＞，即c＜b＜a. 答案：(1)C　(2)D 比较幂值大小的三种类型及处理方法 1．(1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　) A．y3＞y1＞y2　　 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 解析：y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5.由y＝2x在R上单调递增知，21.44＜21.5＜21.8，即y1＞y3＞y2. 答案：D (2)＞，则a，b的大小关系是(　　) A．1＞a＞b＞0 B．a＜b C．a＞b D．1＞b＞a＞0 解析：∵0＜＜1，∴y＝在R上单调递减．又∵＞，∴a＜b. 答案：B 　解简单的指数不等式(变通探究) 　(1)解不等式≤2. (2)若a－3x＞ax＋4(a＞1)，求x的取值范围． 【尝试解答】　(1)原不等式⇔2－2x＋1≤2⇔－2x＋1≤1⇔x≥0. 故原不等式的解集为[0，＋∞)． (2)因为f(x)＝ax(a＞1)是R上的增函数，且a－3x＞ax＋4，所以－3x＞x＋4，即x＜－1， 故x的取值范围是x＜－1. 【变式拓展】 变式　若把本例(2)中的“a＞1”换为“a＞0且a≠1”，其他条件不变，则结果又是什么呢？ 解：当a＞1时，原不等式⇔－3x＞x＋4⇔x＜－1； 当0＜a＜1时，原不等式⇔－3x＜x＋4⇔x＞－1. 故当a＞1时，x的取值范围是x＜－1； 当0＜a＜1时，x的取值范围是x＞－1. 　af(x)＞ag(x)(a＞0且a≠1)型的指数不等式的解法 (1)a＞1时，af(x)＞ag(x)⇔f(x)＞g(x)． (2)0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)⇔f(x)＜g(x)． 提醒：不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式． 2．不等式2＜4的解集为________． 解析：2＜4，即2＜22， ∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0， ∴(x－2)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2， ∴不等式的解集为{x|－1＜x＜2}． 答案：{x|－1＜x＜2} 指数函数性质的综合应用(重点探究)　 　(1)若函数f(x)＝ 是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(1，8) C．(4，8) D．[4，8) (2)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． ①求b的值； ②判断函数f(x)的单调性； ③若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围． 【审题指导】　(1)根据指数函数和一次函数的单调性，并由条件“函数