4.1.1 实数指数幂及其运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 [素养目标]　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，重点发展数学抽象核心素养． 2．掌握根式的性质及根式与分数指数幂的互化；掌握实数指数幂的运算法则，并能对代数式进行化简或求值，重点提升数学运算素养． 　n次方根、算术根、根式 1．n次方根的表示 (1)0的任意正整数次方根均为0，记为＝0． (2)正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义． (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． 2．根式的性质 (1)()n＝a． (2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|． [拓展] ()n与的意义的理解 (1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)． (2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝如＝－3, ＝|－3|＝3. 　有理数指数幂 1．如果m、n∈N*，且n＞1，且是既约分数，那么当有意义时，规定：a＝． 2．若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝． 3．有理数指数幂的运算法则． asat＝as＋t， (as)t＝ast， (ab)s＝asbs． 　实数指数幂 1．当a＞0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．即当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义． 2．对任意实数s和t，有理数指数幂的运算法则仍然成立． 1．若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s. 2．若a＞b＞0，n∈N*且n＞1，则a＞b. 3．乘法公式仍适用于分数指数幂，如： (a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a＞0，b＞0)． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1.(　　) (2) ＝x＋y.(　　) (3)a·a2＝a.(　　) (4)a÷a＝a.(　　) 解析：(1)√　因为a2－a＋1＝＋≥，则(a2－a＋1)0＝1. (2)×　≠x＋y. (3)×　a·a2＝a. (4)×　a÷a＝a＝a. 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．的运算结果是±3 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 解析：对于A，因为偶次根式的结果只能是正数，所以A错误；对于B，偶次方根的结果有正有负，B错误；根据幂指数的运算法则可知C、D正确．故选CD． 答案：CD 3．根式化为分数指数幂为(　　) A．m　　　　　　 B．m C．m D．m 解析：＝＝m. 答案：A 4.－×的值为(　　) A．－ B． C． D． 解析：原式＝1－(1－22)×＝1－(－3)×＝. 答案：D 　根式的化简与求值(小组探究) 　 (1)625的4次方根为________． (2)128的7次方根为________． (3)化简下列各式： ①()6；②()3；③； ④(a＞2)；⑤. 【尝试解答】　(1)设625的4次方根为x，所以x4＝625＝(±5)4， 所以x＝5或－5， 因此625的4次方根是±5. 答案：±5 (2)设128的7次方根为x，所以x7＝128＝27， 所以x＝2， 因此128的7次方根是2. 答案：2 (3)①()6＝2. ②()3＝－3.8. ③＝＝－5. ④＝|a－2|， 因为a＞2，所以＝a－2. ⑤＝|m－n|， 当m≥n时，＝m－n； 当m＜n时，＝n－m. 1．求a的n次方根，实际上就是解方程xn＝a. 2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论． 1．(1)－125的立方根是________． (2)已知 ＝－a－1，则实数a的取值范围是________． 解析：(1)∵(－5)3＝－125， ∴－125的立方根是－5. (2)∵＝|a＋1|， ∴|a＋1|＝－a－1＝－(a＋1)， ∴a＋1≤0，即a≤－1. 答案：(1)－5　(2)(－∞，－1] 根式与分数指数幂的化简与求值(重点探究) 　(课本例2的拓展)计算下列各式的值． (1)7－3－6＋； (2)(0.064)－＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|； (3)＋(0.002)－10×(－2)－1＋(－)0＋3－1＋×81. 【尝试解答】　(1)原式＝7×3－3×(3×23)－2×3×(3－2)＋(3×3) ＝7×3－3×