第三章 圆锥曲线的方程 章末复习课-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

章末复习课

专题一　圆锥曲线的定义及标准方程

[重要提醒]

求圆锥曲线方程的常用方法

(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．

(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．

(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．

(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．

[典型问题]

1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)

A．－＝1　　　　　 B．－＝1

C．－y2＝1  D．x2－＝1

解析：D　由题得c＝2，b＝，故a＝1，故双曲线的方程为x2－＝1，故选D．

2．(2022·重庆复旦中学高二期中)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)

A．16  B．32

C．8  D．4

解析：A　由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，

∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝16.故选A．

3．(2022·天津英华国际中学高二期中)动圆M与定圆C：x2＋y2＋4x＝0相外切，且与直线l：x＝2相切，则动圆M的圆心(x，y)满足的方程为(　　)

A．y2－12x＋12＝0  B．y2＋12x－12＝0

C．y2＋8x＝0  D．y2－8x＝0

解析：B　由题知C(－2，0)，设动圆M的半径为r，圆心M到直线l的距离为d，则根据两圆相外切及直线与圆相切可得，|MC|＝2＋r，d＝r，

∴|MC|－d＝2，即－(2－x)＝2，化简得y2＋12x－12＝0.

∴动圆M的圆心(x，y)满足的方程为y2＋12x－12＝0.故选B．

4．点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．

解：抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.

如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最

小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，

所以|PM|＋|PF|的最小值是4.

此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是(，3)．

专题二　圆锥曲线的几何性质

[重要提醒]

本类问题主要有两种考查类型：

(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点，其方法有：定义法，方程法和几何法．

(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．

[典型问题]

1．(2022·江苏盐城一中高二期中)双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的焦距是4，其渐近线与圆C2：(x＋2)2＋y2＝1相切，则双曲线C1的方程为(　　)

A．－y2＝1  B．－＝1

C．－＝1  D．－y2＝1

解析：D　由题意可得2c＝4，得c＝2.因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay＝0与圆C2：(x＋2)2＋y2＝1相切，所以＝1，得b＝1，

所以a2＝c2－b2＝3，

所以双曲线 C1的方程为－y2＝1，故选D．

2．(2022·辽宁沈阳高二期中)已知双曲线方程为3mx2－my2＝1，则双曲线的