第三章 圆锥曲线的方程 拓展培优-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

解决椭圆、双曲线离心率的范围问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系，建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域的方法确定离心率的范围．构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆、双曲线自身的性质构造不等关系，从而求解． 类型一　求椭圆离心率的范围 　(1)(2022·湖南长沙市长郡中学月考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°＜∠PF1F2＜120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A．(，1) B．(，) C．(，1) D．(0，) 解析：由题意可得|PF1|＝|F1F2|＝2c，则|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2＝8c2－8c2cos∠PF1F2，即|PF2|＝2c·，所以a＝＝c＋c·.又60°＜∠PF1F2＜120°，所以－＜cos∠PF1F2＜，所以2c＜a＜(＋1)c，则＜＜，即＜e＜.故选B． 答案：B (2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________． 解析：在△PF1F2中，由正弦定理知＝.因为＝，椭圆离心率e＝， 所以＝＝，即|PF1|＝e|PF2|.① 又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a. 将①代入得|PF2|＝. 易知a－c＜|PF2|＜a＋c，即1－e＜＜1＋e. 又0＜e＜1，解得－1＜e＜1. 答案：(－1，1) 类型二　求双曲线离心率的范围 　(1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上的一点，且△PF1F2的周长为4a＋2 ，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　) A．(1，2) B．(1，4) C．(2，－∞) D．(4，＋∞) 解析：设双曲线C的焦距为2c，则|F1F2|＝2c，a2＋b2＝c2.因为P是双曲线C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a.又△PF1F2的周长为4a＋2 ，所以|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝4a＋2，所以|PF1|＋|PF2|＋2c＝4a＋2c，所以|PF1|＋|PF2|＝4a.由，得. 因为， 所以，所以，所以1＜e＜2，所以双曲线C的离心率的取值范围为(1，2)． 答案：A (2)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若·＞0，则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(，＋∞) C．(1，2) D．(2，＋∞) 解析：不妨设过F1(－c，0)与双曲线的一条渐近线平行的直线的方程为bx＝ay－bc，则与另一条渐近线bx＋ay＝0的交点为M(－，)．又·＝(－，－)·(，－)＞0，可得＞3，所以e＝ ＞2.故选D． 答案：D 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定待求量的取值范围； 2．利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3．利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出待求量的取值范围； 4．利用已知的不等关系构造不等式或者建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求待求量的取值范围； 5．利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定待求量的取值范围． 类型一　弦长、面积等几何量的最值或范围 　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点(，－)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点P(0，2)的直线交椭圆C于A，B两点，求△OAB(O为原点)面积的最大值． 解：(1)由题意得，离心率e＝＝，即＝. 因为c2＝a2－b2，所以＝，即a2＝3b2.① 又由椭圆C经过点(，－)， 可得＋＝1，即＋＝1.② 联立①②，解得a2＝3，b2＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由题意，易知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝kx＋2. 由， 得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0， 由Δ＝(12k)2－4×9(1＋3k2)＞0，得k2＞1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以|AB|＝·|x1－x2| ＝· ＝· ＝6·， 点O(0，0)到直线AB的距离d＝， 所以S△OAB＝|AB|·d＝(6·)＝. 令 ＝t(t ＞0)，则k2＝t2＋1， 所以S△OAB＝＝≤＝， 当且仅当＝3t，即t2＝时等号成立， 此时k2＝，所以△OAB的面积的最大值为. 类型二　参