第三章 圆锥曲线的方程 阶段提能训练(五)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

阶段提能训练(五) 教师用书独具 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 1．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，2)　　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析：A　方程－＝1可化为＋＝1，因为该方程表示双曲线，所以m(m－2)＜0，解得0＜m＜2，故选A． 2．已知双曲线过点P1(－2，)和P2(，4)，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：B　因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋my2＝1(mn＜0)．因为点P1(－2，)，P2(，4)在双曲线上，所以，解得，于是所求双曲线的标准方程为－＝1.故选B． 3．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2，2)　　　　 B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 解析：A　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2. 4．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，点Q满足＝，O为坐标原点．若|PF1|＝10，则|OQ|＝(　　) A．10 B．1或9 C．1 D．9 解析：D　由双曲线C：－＝1 可得a＝4，b＝4，c＝8，则c－a＝4.由双曲线的定义可知，||PF1|－|PF2||＝2a＝8.因为|PF1|＝10，所以|PF2|＝18或|PF2|＝2(舍去)．又P为双曲线C上一点，＝，所以Q为线段PF1的中点，所以|OQ|＝|PF2|＝9.故选D． 5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，其渐近线上横坐标为的点P满足·＝0，则a＝(　　) A． B． C．2 D．4 解析：B　由题知，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)．不妨取点P在第一象限，可得P(，)．因为·＝0，所以－c2＋＝0.又a2＋b2＝c2，联立解得a＝.故选B． 6．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5 m, 水面宽|AB|＝30 m．若水面下降5 m，则水面宽是(结果精确到0.1 m)(参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.65)(　　) A．43.8 m B．44.8 m C．52.3 m D．53.0 m 解析：B　建立如图所示的平面直角坐标系．因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线的方程－＝1(a＞0)，C(0，－a)．因为|AB|＝30，|CD|＝5，则B(15，－a－5)，将点B坐标代入双曲线方程，可得－＝1，解得a＝20，即－＝1.当水面下降5 m，纵坐标yN＝－30，代入双曲线方程可得xN＝10，所以|MN|＝2xN＝20≈44.8.故选B． 7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝6相交于A，B两点，且|AB|＝4，则此双曲线的离心率为(　　) A．2 B． C． D． 解析：D　设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为bx－ay＝0， ∵|AB|＝4，r＝， ∴圆心(2，0)到渐近线的距离为， 即＝， 解得b＝a， 又由a2＋b2＝c2， 得c＝a， ∴此双曲线的离心率为e＝＝. 8．(多选题)双曲线C1：－y2＝1与C2：－y2＝λ(λ＞0且λ≠1)的(　　) A．顶点相同 B．焦点相同 C．离心率相同 D．渐近线相同 解析：CD　由C2：－y2＝λ⇒－＝1，又因为λ＞0且λ≠1，所以4≠4λ，顶点不同，A错；对C1：－y2＝1，a＝4，b＝1，c＝5，e1＝，渐近线为y＝±x，对C2：－＝1，a＝4λ，b＝λ，c＝5λ，e2＝，渐近线为y＝±x，由此判断B错，C，D正确．故选CD． 9．(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有(　　) A．渐近线方程为y＝±x B．渐近线方程为y＝±x C．∠MAN＝60° D．∠MAN＝120° 解析：BC　如图，双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，离心率为＝， 则＝＝1＋＝， 则＝，＝±， 故渐近线方程为y＝±x， 取MN的中点P， 连接AP，利用点到直线的距离公式可得d＝|AP|＝， 则cos∠PAN＝＝＝， ∴cos∠MAN＝cos 2∠PAN＝2cos2∠PAN－1＝2×－1＝，则∠MAN＝60°. 10．(多选题)已知平面上两点M(－5，0)和N(5，