第三章 圆锥曲线的方程 阶段提能训练(四)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

阶段提能训练(四) 教师用书独具 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B．若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1　　　 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：A　由四边形AF2BF1是正方形可得，b＝c. 由四边形AF2BF1的面积为4可得，·2c·2b＝4，即bc＝2，∴b2＝c2＝2. 又a2＝b2＋c2，∴a2＝4， ∴椭圆C的方程为＋＝1. 2．已知椭圆＋＝1上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：A　由椭圆方程＋＝1得a2＝16，b2＝12，c2＝a2－b2＝4，即a＝4，b＝2，c＝2. 设椭圆的右焦点为F2，由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，又|MF1|＝6，所以|MF2|＝2. 因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点， 所以|ON|＝|MF2|＝1.故选A. 3．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点．若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　　) A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 解析：C　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个． 4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A． B． C． D． 解析：B　易求直线AB的方程为y＝(x＋)． 由 消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝× ＝. 5．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－，) 解析：C　设P(x，y)，由题可知F1(－，0)，F2(，0)．若∠F1PF2是钝角，则|PF1|2＋|PF2|2＜|F1F2|2，∴(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2＜20， 即x2＋y2＜5，则x2＋4(1－)＜5，解得－＜x＜.故选C． 6．设P(x，y)是椭圆x2＋4y2＝4上的一个动点，定点M(1，0)，则|PM|2的最大值是(　　) A． B．1 C．3 D．9 解析：D　根据题意，P(x，y)是椭圆x2＋4y2＝4，即＋y2＝1上的一个动点，则－2≤x≤2，且y2＝1－.则|PM|2＝(x－1)2＋y2＝(x2－2x＋1)＋1－＝x2－2x＋2＝(x－)2＋. 函数y＝(x－)2＋的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝，易知当x＝－2时，|PM|2＝(x－)2＋，x∈[－2，2]取得最大值，最大值为9，故选D． 7．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D．(，1) 解析：C　由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a， |PF1|＝5|PF2|， 则|PF1|＝，|PF2|＝， ∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|， ∴≤2c，e≥. 又e＜1， ∴椭圆离心率的取值范围是. 8．(多选题)(2022·重庆万州二中高二期中)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下列关于椭圆C的叙述正确的是(　　) A．椭圆C的长轴长为10 B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0，3) C．椭圆C的离心率为 D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则|PQ|＝ 解析：ACD　由＋＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3. 长轴长为2a＝10.A正确；两焦点为(3，0)，(－3，0)．B错误；e＝＝.C正确；将x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，解得y＝±，所以|PQ|＝.D正确． 9．(多选题)已知椭圆E：＋＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与直线l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长可能相等的是(　　) A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0 C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0 解析：ABC　当k＝－1时，两直线关于y轴对称，故被椭圆E截得的弦长相等．A正确；当k＝1时，两直线平行且关于原点对称，故被