3.3.2 第一课时 抛物线的简单几何性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第一课时　抛物线的简单几何性质 学习目标 1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(难点) 知识点　抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R y≥0， x∈Ry≤0 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 [微练1]　设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A．(6，＋∞)　　　　　　 B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：D　抛物线的顶点到准线的距离最短． [微练2]　顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．y2＝±12x 答案：C [微练3]　若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________． 答案：4 题型一　抛物线的几何性质 　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 确定抛物线的简单几何性质的三个要点 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 1．边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x　　　 B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 解析：C　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 又A(±，)(取点A在x轴上方)， 则有＝±a， 解得a＝±， 所以抛物线方程为y2＝±x. 题型二　抛物线几何性质的应用 　已知正△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长． 解：如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y＝2px1，y＝2px2. 又|OA|＝|OB|， 所以x＋y＝x＋y， 即x－x＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称， 由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝x1，与y＝2px1联立， 解得y1＝2p. 所以|AB|＝2y1＝4p， 即这个三角形的边长为4p. 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题． 2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程． 解：如图，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，－y0)， ∵F是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB， ∴kAF·kOB＝－1， 即·＝－1. ∴y＝x0， 又∵y＝2px0， ∴x0＝2p＋＝. ∴直线AB的方程为x＝. 题型三　抛物线的弦长问题 　(2022·北京汇文中学高二期中)已知抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x＋t与抛物线W相交于A，B两点． (1)将|AB|表示为t的函数； (2)若|AB|＝3，求△AFB的周长． 解：(1)联立整理得4x2＋4(t－1)x＋t2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则 所以|AB|＝· ＝·＝. (2)由|AB|＝3，可得＝3，解得t＝－4. 经检验，此时Δ＝16－32t＞0，所以x1＋x2＝1－t＝5. 由抛物线的定义，有|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又|AB|＝3，所以△AFB的周长为7＋3. 直线和抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求|AB|. (1)对斜率k存在的直线，使用弦长公式|AB|＝·|x1－x