3.3.2 第二课时 抛物线的标准方程及性质的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　抛物线的标准方程及性质的应用 学习目标 1．了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题．(重点、难点) 知识点　直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点(切点)； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． [微练]　已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 解析：D　当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的；当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切. 题型一　直线与抛物线的位置关系 　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 解：联立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， ∴直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离． 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k＞1时，l与C没有公共点． 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． 1．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 解析：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1]． 答案：[－1，1] 题型二　与抛物线有关的最值问题 　如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积． 解：由解得或 由题图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3. 设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离， 则d＝＝·＝|(y0－1)2－9|. ∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0. ∴d＝[9－(y0－1)2]． 从而当y0＝1时，dmax＝， Smax＝××3＝. 故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为. [发散思维]　若本题抛物线方程不变，直线l为y＝2x＋4，在抛物线上求一点D，使D到l的距离最小并求最小值． 解：与l平行且与抛物线相切的直线，切点即为所求． 设切线为y＝2x＋b，由得 4x2＋(4b－4)x＋b2＝0　①， ∴Δ＝(4b－4)2－4×4b2＝0，∴b＝， 此时①式方程为4x2－2x＋＝0，∴x＝. ∴y＝2×＋＝1，∴D， 最小距离d＝＝. 与抛物线有关的最值或范围问题的解题策略 (1)利用抛物线的几何性质或判别式构造不等关系． (2)利用几何性质寻求何时取到最值，直接求解此时的结果． (3)寻求变量的变化边界(极限)位置(如相切)直接求解． (4)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 2.如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为________． 解析：由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由可得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1， ∴|AB|＝·＝·＝. 点D(－1，0)到直线AB的距离 d＝， ∴S＝d·|AB|＝· ＝4>4， ∴△DAB的面积S的取值范围为(4，＋∞)． 答案：(4，＋