3.3.1 抛物线及其标准方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3.3　抛物线 3．3.1　抛物线及其标准方程 学习目标 1．掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念．(重点) 2.会求简单的抛物线方程．(难点) 知识点一　抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 把抛物线定义中的“l不经过点F”，那么动点的轨迹是什么？ 提示：当l经过点F时，其轨迹是过F与l垂直的直线，当l不经过点F时，其轨迹是抛物线． 知识点二　抛物线的标准方程 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．其图形，焦点，准线如下表． 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ [微练1]　若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　) A．(8，8)　　　　　　 B．(8，－8) C．(8，±8) D．(－8，±8) 答案：C [微练2]　已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________． 答案：x2＝8y 题型一　求抛物线的标准方程 　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 解：(1)因为点(－3，－1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)． 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)． 当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4，0)时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 1．(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝________，准线方程为____________． (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 解析：(1)因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. (2)设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，如|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 答案：(1)2　x＝－1　(2)x2＝10y和x2＝－10y 题型二　抛物线的定义及应用 角度1　利用抛物线的定义求轨迹(方程) 　设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为(　　) A．抛物线　　　　 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 解析：由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义知，所求轨迹是抛物线． 答案：A 角度2　利用抛物线定义求参数 　已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2　　　　　　　 B．3 C．6 D．9 解析：方法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以 ＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C． 方法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6. 答案：C 角度3　利用抛物线定义求最值 　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，当点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时所求距离之和最小，所以最小距离d＝