3.2.2 第二课时 双曲线的标准方程及性质的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　双曲线的标准方程及性质的应用 学习目标 1．理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长问题．(重点、难点) 知识点　直线与双曲线的位置关系 把直线(非渐近线)与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线无公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． [微练1]　若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．4　　　 B．2　　　 C．1　　　 D．－2 答案：A [微练2]　过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________． 答案：4 题型一　直线与双曲线位置关系 　已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围； (2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围； (3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值． 解：由 得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.① (1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解． ∴ 解得k>或k<－， 则k的取值范围为k>或k<－. (2)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根． ∴ 解得－<k<且k≠±1. (3)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解． 当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解； 当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0， 解得k＝±，故k的值为±1或±. 通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l倾斜角)． 如图①，θ＝α时，直线l只与双曲线一支相交，交点只有一个； 如图②，θ>α时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个； 如图③，θ<α时，直线l与双曲线两支都相交，交点有两个． 1．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线有(　　) A．1条　 B．2条　 C．3条　 D．4条 解析：B　因渐近线y＝±2x，点P在渐近线上．满足题意的一条是切于顶点，一条是与渐近线平行，故选B． 题型二　双曲线的中点弦问题 　已知双曲线的方程为x2－＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 解：方法一：设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0， ∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜. 设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝. ∵点B(1，1)是弦的中点， ∴＝1，∴k＝2＞. 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦． 方法二：设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 且 由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴kMN＝＝2， ∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1. 由消去y，得2x2－4x＋3＝0. 又Δ＝－8＜0，∴直线MN与双曲线不相交，故双曲线上不存在被点B平分的弦． 解双曲线的中点弦问题，一般有两种方法 (1)直线方程与双曲线方程联立，得到关于x或y的方程，然后利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)利用“点差法”． 2．已知双曲线E的中心为坐标原点，F(3，0)是双曲线E的焦点，过点F的直线l与双曲线E交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的方程为(　　) A．－－1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：B　设双曲线E的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差得＝＝＝. 又因为直线AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线E的标准方程是－＝1. 题型三　弦长问题 　直线l在双曲线－＝1上截得弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程． 解：设直线l的方程为y＝2x＋m，由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*) 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系， 得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)． 又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m， ∴y1－y2＝2(x1