3.1.2 第一课时 椭圆的简单几何性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第一课时　椭圆的简单几何性质 学习目标 1．经历从椭圆的标准方程研究椭圆几何性质的过程并掌握它的几何性质．(重点) 2.会根据几何条件求出曲线方程，并会研究其性质，画出图形，并解决相关问题．(难点) 知识点　椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心 率 e＝∈(0，1) [微练1]　椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5，3，　　　　　 B．10，6， C．5，3， D．10，6， 答案：B [微练2]　已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：D 题型一　由椭圆方程研究其简单几何性质 　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解：椭圆方程可化为＋＝1. ①当0<m<4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3， ∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为 A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m>4时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2，0)，B2(2，0)． 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)； (3)求出a，b，c； (4)写出椭圆的几何性质． 1．(链接教材P112例4)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率，焦点和顶点坐标． 解：已知方程化成标准方程为＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6， 离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)，四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)和(0，3)． 题型二　由椭圆的几何性质求标准方程 　(1)(2022·人大附中深圳学校高二期中)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1　　　　 B．＋y2＝1 C．＋y2＝1 D．x2＋＝1 解析：由题意知a＝2，a＋c＝3，即c＝1，所以b＝＝.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程是＋＝1.故选A． 答案：A (2)(2022·福建福州八县(市)高二期中)阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为2π，且离心率为，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，易得，解得，因此椭圆C的标准方程为＋＝1.故选A． 答案：A 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于a，b，c的关系式，列方程(组)求解．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． 2．(多选题)已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：AC　由椭圆的定义可得2a＝12，可得a＝6.因为椭圆G的离心率为＝，则c＝3， 所以b＝＝3. 若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为＋＝1； 若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为＋＝1.故选AC． 3．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是______________． 解析：因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点