3.1.1 椭圆及其标准方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3．1　椭圆 3．1.1　椭圆及其标准方程 学习目标 1．理解并掌握椭圆的定义．(重点) 2.掌握椭圆的标准方程的推导．(难点) 3.会求简单的椭圆的标准方程．(重点) 知识点一　椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 把椭圆定义中的“大于|F1F2|”去掉，动点的轨迹还是椭圆吗？ 提示：设平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数2a，则2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 所以条件|MF1|＋|MF2|＝2a(a>0)是“M形成椭圆的必要不充分条件”． 知识点二　椭圆的标准方程及图形 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 如何根据椭圆的标准方程确定其焦点所在的坐标轴？ 提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就是要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”． [微练1]　已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(　　) A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．9 解析：B　由4＝(m＞0)⇒m＝3，故选B． [微练2]　已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A．＋＝1　　　 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋x2＝1 解析：A　c＝1，由点P(2，0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3， ∴椭圆的方程为＋＝1. 题型一　求椭圆的标准方程 　(链接教材P107例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程． 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为2a＝10，所以a＝5. 又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以解得 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (3)方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 依题意有 解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. ②当焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 依题意有解得 此时不符合a>b>0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二：设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)， 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. [发散思维]　若本例(1)条件变为： 椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程． 解：由题意得：2c＝8，2a＝10，∴c＝4，a＝5. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1. 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件，当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程． 1．(2022·江苏南京六校高二联考)试写出一个焦点坐标为(0，±1)的椭圆的标准方程：________． 解析：因为椭圆的焦点在y轴上，且c＝1，所以符合题意的标准方程为＋x2＝1.(注：其他符合题意的标准方程均可)． 答案：＋x2＝1(答案不唯一) 题型二　椭圆的定义及应用 角度1　利用椭圆的定义求方程 　(链接教材P115习题6)动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________． 解析：设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R.因为动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆