2.4.1 圆的标准方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

2.4　圆的方程 2．4.1　圆的标准方程 学习目标 1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．(重点) 2.由圆的标准方程写出圆心坐标及半径，并会求圆的标准方程．(难点) 知识点一　圆的标准方程 圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔圆心为C(a，b)，半径为r．圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程是x2＋y2＝r2． [微练1]　圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　) A．(1，)　　　　　 B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 解析：C　由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)． [微练2]　经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________． 解析：由题意可知圆心坐标为(－2，0)，半径为2，故圆的方程为(x＋2)2＋y2＝4. 答案：(x＋2)2＋y2＝4 知识点二　点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． [微练3]　点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外　　　　　　 B．在圆上 C．在圆内 D．不确定 解析：A　因为m4＋25＞24，所以点P在圆外． [微练4]　点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜－1或a＞1 D．a≠1 解析：A　∵(1－a)2＋(1＋a)2＜4， ∴2a2＋2＜4， ∴a2＜1，∴－1＜a＜1. 题型一　求圆的标准方程 角度1　直接法求圆的标准方程 　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 角度2　待定系数法求圆的方程 　(链接教材P84例3)求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 解：方法一：(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 则有 解得 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二：(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r＝＝5. 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 1．(2022·河北石家庄二中高二期中)若圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 解析：A　由题意知该直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得直径长为＝2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 2．圆过两点A(3，1)、B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求圆的标准方程． 解：方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，依题意， 得 即解得 所以所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 方法二：设圆心为C， ∵圆心在直线3x－y－2＝0上， 故可设圆心C的坐标为(a，3a－2)． 又∵|CA|＝|CB|， 故 ＝， 解得a＝2， ∴圆心为(2，4)，半径r＝|CA|＝. 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. 题型二　点与圆的位置关系 　(2022·辽师附中高二月考)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围． 解：(1)因为点M(6，9)在圆N上， 所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10， 又a＞0，所以a＝. (2)因为圆心N(5，6)， 所以|PN|＝＝， |QN|＝＝3， 所以|PN|＞|QN|，故点P在圆N外，点Q 在圆N内，所以3＜a＜