2.3.4 两条平行直线间的距离-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

2．3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 学习目标 1．经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养．(难点) 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用．(重点) 3.理解两条平行直线间的距离公式的推导.4.会求两条平行直线间的距离．(重点) 知识点一　点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足，d＝． 当A＝0，或B＝0时，上述公式仍然成立． [微练1]　(多选题)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A．　 B．－　 C．－　 D． 解析：AB　由点到直线的距离公式得＝1，解得a＝或a＝－. 知识点二　两条平行直线间的距离 1．求两条平行直线间的距离时，可转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． 2．两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离公式为d＝(x、y的系数均应分别为A、B)． 两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等的情况，否则必须先化为对应相等才能运用公式． [微练2]　平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　) A．1 B．0 C． D．3 解析：A　l1，l2的距离为d＝＝1. 题型一　点到直线的距离 　(1)已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A．　　　　　 B． C． D．3 解析：直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)， ∴M(0，2)．∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上， ∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离， ∴|MP|min＝d＝＝＝.故选B． 答案：B (2)(多选题)已知直线l过点P(3，3)，且点A(－2，2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　) A．3x－2y－3＝0 B．2x－3y＋3＝0 C．2x＋3y－15＝0 D．2x＋3y－2＝0 解析：由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0.由点A(－2，2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，得＝，解得k＝或k＝－，故直线l的方程为3x－2y－3＝0或2x＋3y－15＝0.故选AC． 答案：AC 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)即可． 1．已知点P是x轴上的点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　) A．(－6，0) B．(－12，0) C．(－12，0)或(8，0) D．(－6，0)或(6，0) 解析：C　设P(x，0)．由点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，得＝6，即|3x＋6|＝30，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8，0)或(－12，0)．故选C． 2．点A(5，0)，B(1，－4)到直线的距离都是4，满足条件的直线有(　　) A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 解析：C　因为点A(5，0)，B(1，－4)，所以由两点间距离公式可得|AB|＝＝＝8，则点A(5，0)，B(1，－4)到线段AB的垂直平分线的距离都等于4. 位于直线AB两侧并与直线AB平行且距离为4的直线各有一条，满足点A(5，0)，B(1，－4)到直线的距离都是4.综上可知，共有三条直线满足点A(5，0)，B(1，－4)到直线的距离都是4.故选C． 题型二　两条平行直线间的距离 　(链接教材P78例7、例8)(1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程． 解：(1)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0， 所以d＝＝＝. (2)设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0，C≠4，C≠－2. 由直线l与两条平行线的距离相等， 得＝， 即|C－4|＝|C＋2|， 解得C＝1. 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. [发散思维]　在本例(2)中，求与l1平行且两直线距离为的直线方程． 解：设所求直线的方程为2x－3y＋C＝0，C≠4， 由题意得＝，即|C－4|＝6， ∴C＝－2或C＝10. 故所求直线的方程为2x－3y－2＝0或2x－3y＋10＝0. 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条