2.2.3 直线的一般式方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

2．2.3　直线的一般式方程 学习目标 1．掌握直线的一般式方程．(重点) 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(难点) 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点　直线的一般式方程 1．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．一般式与斜截式、截距式的互化 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线． 当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为x＝－，它表示过点，且垂直于x轴的直线． 当A≠0、B≠0、C≠0时，方程化为：＋＝1，表示在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为－的直线． 直线方程的一般式说明： ①任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示． ②关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． [微练1]　直线＋＝1化成一般式方程为(　　) A．y＝－x＋4　 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 答案：C [微练2]　在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 解析：C　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 题型一　直线的一般式方程 　(链接教材P65例5)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴． 解：(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝，即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1，即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 1．下列说法中不正确的是(　　) A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示 B．当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C．当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 解析：D　对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，可得A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x＝x1，与Ax＋By＋C＝0比较，可得A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，故此说法是正确的．对于选项B，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，即Ax＋By＝0，显然有A×0＋B×0＝0，即直线过原点(0，0)，故此说法正确． 对于选项C，因为当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，故此说法正确．D说法显然错误． 2．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(　　) A．x－2y＋4＝0　　　 B．x＋2y－4＝0 C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0 解析：D　直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)， ∵所求直线过点A且斜率为－， ∴所求直线的方程为y＋2＝－x， 即x＋2y＋4＝0. 题型二　利用一般式解决直线的平行与垂直问题 　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 解：方法一：l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又∵l′过点(－1，3)， ∴由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. (2)∵l′与l垂直， ∴l′的斜率为，又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 方法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1，3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2