2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标 1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．(重点) 2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．(难点) 知识点一　两条直线平行的判定 1．对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有 l1∥l2⇔k1＝k2． 2．当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，此时l1∥l2． 3．若直线l1，l2重合，此时仍然有k1＝k2． [微练1]　已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　) A．－8　　 B．0　　 C．2　　 D．10 解析：A　由题意可知，kAB＝＝－2，所以m＝－8. 知识点二　两条直线相交与垂直 1．当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交． 2．当直线l1或l2的倾斜角为90°时，若l1⊥l2，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 3．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1． [微练2]　直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 答案：D 题型一　两条直线平行的判定 　(链接教材P56例2)判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的倾斜角为45°，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(0，2)； (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5)． 解：(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，∴l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， ∴l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1. 且四点不共线，∴l1∥l2. (4)l1⊥x轴，l2⊥x轴，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2. [发散思维]　探究本例中(3)(4)小题的四点A、B、M、N可形成什么图形． 解：第(3)小题，由kAB＝kMN，可得AB∥MN， 又∵kAM＝＝－2，kBN＝＝－2， ∴AM∥BN，∴ABNM为平行四边形． 第(4)小题，由已知可得AB∥MN， 又∵kAM＝＝－， kBN＝＝－， ∴kAM≠kBN，∴AM与BN不平行， ∴四边形ABNM为梯形，其中AB、MN为两底边． 判断两条不重合直线是否平行的步骤 1．(2022·安徽亳州二中高二期中)已知直线l1过两点(－1，2)，(1，4)，直线l2过两点(2，1)，(x，5)，且l1∥l2，则x＝(　　) A．2　　　　　 B．－2 C．4 D．6 解析：D　由题意得＝，解得x＝6. 2．下列说法错误的是(　　) A．若两不同的直线斜率相等，则两直线平行 B．若l1∥l2，则k1＝k2 C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交 D．若两不同的直线的斜率都不存在，则两直线平行 解析：B　当两不同直线斜率相等时，两直线平行，A正确；当l1∥l2时，斜率可能都不存在，B不正确；C，D显然正确． 题型二　两条直线垂直的判定 　(1)判断直线l1与l2是否垂直． ①l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； ②l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)． (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(1，a－2)，且l1⊥l2，求a的值． 解：(1)①设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝－10，k2＝＝，因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. ②由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2. (2)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 因为直线l2经过点C(2，3)，D(1，a－2)，且2≠1，所以l2的斜率存在． 当a－2＝3，即a＝5时，k2＝0，k1不存在，此时l1与l2垂直； 当a≠5时，k2≠0，此时k1存在，由k1k2＝－1，得·＝－1，解得a＝2. 综上可知，a的值为5或2. 判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 3．已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，