1.4.2 第一课时 距离问题-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时　距离问题 学习目标 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．(重点) 2．通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用．(难点) 知识点一　点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.点P到l的距离为 PQ＝ ＝_． 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． [微练1]　已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：A　＝(2，0，1)，则点P到直线l的距离为d＝＝＝. 知识点二　点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． [微练2]　已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为(　　) A．10　　　　　　 B．3 C． D． 解析：D　＝(－1，－2，4)，则点P到平面α的距离为d＝＝. 题型一　点到直线的距离 　(链接教材P34例6)在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图． 设DA＝2， 则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2)． ∴||＝＝，||＝. ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴在上的投影向量的模为＝ . ∴点A到直线EF的距离 d＝＝＝. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影，向量的模； (4)利用勾股定理求点到直线的距离． 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 1．(2022·湖北部分重点学校高二期中联考)鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝PA＝2，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是________． 解析：因为AB＝BC，且△ABC是直角三角形，所以AB⊥BC以B为原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.因为AB＝BC＝PA＝2，所以A(0，2，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，E(1，1，1)，F(，1，)，则＝(2，－2，0)，＝(，－1，)．故点F到直线AC的距离d＝＝＝. 答案： 题型二　点、直线、平面到平面的距离 　(1)如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________． 解析：分析知AB，AD，AP两两垂直，所以可建立以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)．设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则，即，取a＝1，则b＝0，c＝1，则n＝(1，0，1)是平面PBC的一个法向量．又＝(2，0，0)，AD∥平面PBC，所以所求距离为＝. 答案： (2)如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 解：取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD． 以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示． 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以＝(1，，0)，＝(0，，)． 设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由得即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n