1.4.1 第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1.4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标 1．理解直线的方向向量与平面的法向量．(重点)2.会求一个平面的法向量．(难点) 知识点一　空间中点的向量和直线的向量表示 1.如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点． 3．(1)如图，设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)a是直线l的方向向量，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得 ＝＋t. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． [微练]　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)直线l的方向向量与l一定重合．(　　) (2)直线l的方向向量a一定是单位向量．(　　) (3)已知A，B，P三点共线，O为空间中任一点，若＝x＋y，则x＋y＝1.(　　) (4)若点A，B在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为＝t.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 知识点二　空间中平面的向量表示 1.如图所示，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． 2．如图所示，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3．如图所示，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 如何说明一个向量是平面的法向量？ 提示：只需要说明该向量与平面内任意两条不共线的向量垂直即可，这和直线与平面垂直的判定定理是一致的． 题型一　直线的方向向量 1．(多选题)设(1，－2，－1)，(3，－1，2) 是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是(　　) A．(2，1，3)　　　　　　 B．(4，1，6) C．(－，－，－) D．(2，－4，－2) 解析：AC　设A(1，－2，－1)，B(3，－1，2)，则＝(2，1，3)，即为直线l的一个方向向量，－＝(－，－，－)也是直线l的一个方向向量，故选AC． 2．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C． D．3 解析：A　由题意得＝(－1，2－y，z－3) 且∥m，∴＝＝. ∴y＝，z＝，∴y－z＝0. 3．在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF＝2FA，BC⊥BD，BC⊥BA，BA⊥BD，且BC＝BD＝BA＝1.求直线AE、BF的方向向量． 解：以BC为x轴、BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，1)，C(1，0，0)，D(0，1，0) ∴＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1) ∴＝(＋)＝， ∵EF＝2FA， ∴＝＝， ＝＋＝(0，0，1)＋ ＝， ∴AE的方向向量为. BF的方向向量为. 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 题型二　确定空间中点的位置 　已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图所示，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2； (2)AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标． 解：由已知，得＝2，即－＝2(－)，＝＋.设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝(2，4，0)＋(1，3，3)，即x＝＋＝，y＝＋＝，z＝0＋1＝1.因此，P点的坐标是. 因为AQ∶QB＝2∶1，所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2.设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q点的坐标是(0，2，6)． 求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标． 1．(2022·四川宜宾高二检测)已知A(1，2，－1)，B(5，6，7)，则