1.4.1 第三课时 空间中直线、平面的垂直-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第三课时　空间中直线、平面的垂直 学习目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系．(重点、难点) 知识点　空间中直线、平面垂直的向量表示 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 如图(1)，设直线l1，l2的方向向量分别为u1、u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． (1)　　　　　(2)　　　　　　(3)　 如图(2)，设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 如图(3)，设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． [微练1]　已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为________． 解析：由题意得a·b＝2λ2＋3λ＋1＝0，解得λ＝－1或－. 答案：－1或－ [微练2]　平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________． 解析：由题意得u·v＝－t＋5＝0，解得t＝5. 答案：5 题型一　直线与直线垂直 　 (一题多解)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 证明：证法一：设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c，∴·＝(a＋c)·(－a＋b＋c)＝－＋cos 60°＋0－0＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. 证法二：设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A(－，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，N(0，，)，B1(，0，1)， ∵M为BC的中点， ∴M(，，0)． ∴＝(－，，)，＝(1，0，1)， ∴·＝－＋0＋＝0. ∴⊥， ∴AB1⊥MN. 证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 1．在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 证明：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设AE＝BF＝x，则E(a，x，0)，F(a－x，a，0)． ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)． ∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，∴⊥，即A1F⊥C1E. 题型二　直线与平面垂直 　(一题多解)(链接教材P32例4)如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC． 证明：证法一：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)． ∴＝(－1，－1，1)， ＝(0，2，2)， ＝(－2，2，0)． 而· ＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ·＝2－2＋0＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC． 又AB1∩AC＝A，AB1⊂平面B1AC，AC⊂平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC． 证法二：设＝a，＝c，＝b， 则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)． ∵＝＋＝a＋b， ∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝(b2－a2＋c·a＋c·b) ＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. ∴⊥，即EF⊥AB1， 同理，EF⊥B1C． 又AB1∩B1C＝B1，AB1⊂平面B1AC， B1C⊂平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC． [发散思维]　若本例条件不变，求证：A1C⊥平面AD1B1. 证明：由例2证法一得：＝(0，2，2)， ＝＝(2，2，0)， A1(2，0，2)，C(0，2，0)， ∴＝(－2，2，－2)． ∴·＝(－2，2，－2)·(0，2，2)＝0， ∴⊥，即A1C⊥AB1. ·＝(－2，2，－2)·(2，2，0)＝0， ∴⊥，∴A1C⊥D1B1. 又∵AB1∩D1B1＝B1，∴A1C⊥平面AD1B1. 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0； 方法二：(1)