1.4.1 第二课时 空间中直线、平面的平行-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　空间中直线、平面的平行 学习目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系．(重点、难点) 知识点一　直线和直线平行 如图，设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． [微练1]　已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－1，3，x)，b＝(4，y，2)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________． 解析：由题意得a∥b，则＝＝， 解得y＝－12，x＝－. 答案：－　－12 知识点二　直线和平面平行 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． [微练2]　(多选题)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) 解析：AD　若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0；B中a·n＝1＋5＝6；C中a·n＝－1；D中a·n＝－3＋3＝0. 知识点三　平面和平面平行 如图，设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． [微练3]　设平面α的法向量为n1＝(1，2，－2)，平面β的法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　) A．2　　　　　　 B．－4 C．4 D．－2 解析：C　∵α∥β，∴n1与n2平行，∴＝＝，∴k＝4. 题型一　直线和直线平行 　(一题多解)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 证明：证法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，P(0，0，1)，E(0，1，)，N(0，，)，M(，，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(－，0，)，所以＝，故MN∥AP. 证法二：由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，所以MN∥AP. 证明直线平行的两种思路 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B，AC的中点．求证：MN∥B1C． 证明：证法一：如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，M(2，1，1)，N(1，1，0)，所以＝(－1，0，－1)，＝(－2，0，－2)． 所以＝2，所以∥，所以MN∥B1C． 证法二：如图，取空间一组基底{，，}，设＝a，＝b，＝c，则＝b－c，＝＋＋＝(c－a)＋(－c)＋(a＋b)＝(b－c)，所以＝，所以∥，所以MN∥B1C． 题型二　直线与平面平行 　(一题多解)(链接教材P30例3)在四棱锥P -ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB． 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a. 证法一：连接AC，交BD于点G，连接EG， 依题意得D(0，0，0)， A(a，0，0)，P(0，0，a)，E. 因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以＝. 又＝(a，0，－a)， 所以＝2，这表明PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB． 证法二：设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝，B(a，a，0) ＝， 则有 即 即 令y＝－1，则所以n＝(1，－1，1)， 又＝(a，0，－a)， 所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0， 所以n⊥.又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB． 证法三：假设存在实数λ，μ使得 ＝λ＋μ， 即(a，0，－a)＝λ＋μ， 则有 解得 所以＝－＋，又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB． [发散思维]　若本例条件不变，增加“F是AB的中点”，求证：EF∥平面PAD． 证明：由已知可知F， ∴＝， 又∵是平面PAD的法向量， ＝(0，a，0)． 又由·＝·(0，a，0)＝0. 且EF⊄平面PAD． ∴EF∥平面PAD． 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)证