1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 学习目标 1．掌握空间向量运算的坐标表示．(重点)2.掌握空间两点间的距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(难点) 知识点一　空间向量运算的坐标表示 设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 [微练1]　已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则a－b＋4c＝________，a·c＝________. 解析：a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(5，－1，4)， a·c＝(3，5，－1)·(1，－1，2)＝3×1＋5×(－1)＋(－1)×2＝－4. 答案：(5，－1，4)　－4 知识点二　空间向量的平行、垂直、距离的坐标表示 1．空间向量的平行、垂直及模和夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ 2.空间两点间的距离公式 空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1，y1，z1)， P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 ＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． P1P2＝||＝_． [微练2]　已知A(1，1，1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为(　　) A．4　 B．2　 C．4　 D．3 答案：A [微练3]　已知P1(1，－1，2)，P2(3，1，0)，P3(0，1，3)，则向量与的夹角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：D 题型一　空间向量的坐标运算 　(1)已知a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)． 求：①6a－b＋3c； ②(b＋c)·(a－c)． (2)在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)． ①求顶点B，C的坐标； ②求·. 解：(1)①6a－b＋3c＝6(2，－3，1)－(2，0，3)＋3(0，0，2) ＝(12－2＋0，－18－0＋0，6－3＋6) ＝(10，－18，9)． ②b＋c＝(2，0，3)＋(0，0，2)＝(2，0，5) a－c＝(2，－3，1)－(0，0，2)＝(2，－3，－1) ∴(b＋c)·(a－c)＝(2，0，5)·(2，－3，－1) ＝4＋0－5＝－1. (2)①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4，1，2)， 所以解得 所以点B的坐标为(6，－4，5)． 因为＝(3，－2，5)， 所以解得 所以点C的坐标为(9，－6，10)． ②因为＝(－7，1，－7)，＝(3，－2，5)， 所以·＝－21－2－35＝－58. [发散思维]　若本例(2)条件不变，D为边AC的中点，求·. 解：＝(＋)，＝＋. ∴·＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝. 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标． 1．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________． 解析：a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)， ∴a＝(1，，)，b＝(1，0，)， ∴a·b＝1＋0＋3＝4. 答案：(1，，)　(1，0，)　4 题型二　空间向量平行、垂直的坐标表示 　(1)已知向量m＝(1，1，0)，n＝(－1，0，2)，且km＋n与2m－n互相平行，则实数k的值是(　　) A．－　　 B．　　 C．　　 D．－2 解析：∵向量m＝(1，1，0)，n＝(－1，0，2)， ∴km＋n＝(k－1，k，2)，2m－n＝(3，2，－2)． ∵km＋n与2m－n互相平行， ∴＝＝，解得k＝－2.故选D． 答案：D (2)(2022·福建福州八县(市)协作校高二期中联考)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为(　　) A． B．