1.3.1 空间直角坐标系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 学习目标 1．了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．(重点、难点) 知识点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． 2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时，∠xOy与∠yOz分别是多少度？ 提示：∠xOy＝135°或45°，∠yOz＝90°. 知识点二　空间中点的坐标、向量的坐标 1．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk． 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk． 有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． [微练1]　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　) (2)空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．(　　) (3)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于Oyz平面的对称点为(－1，，2)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ [微练2]　设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为______________． 答案：a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3，7) 题型一　求空间中点的坐标 1.如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为________． 解析：由题意知PO ＝ ＝ ＝，点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为(－，0，)． 答案：(－，0，) 2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)若N为棱CC1的中点，求点N的坐标． 解：(1)显然D(0，0，0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，所以A(3，0，0)． 同理，可得C(0，4，0)，D1(0，0，5)． 因为点B在坐标平面Oxy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3，4，0)． 同理，可得A1(3，0，5)，C1(0，4，5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3，4，5)． (2)由(1)知C(0，4，0)，C1(0，4，5)，则CC1的中点N为，即N. 1．若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标． 题型二　空间点的对称问题 　(链接教材P18练习2)在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)． (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变 ，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)． (2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3， z＝2×(－4)－4＝－12， 所以