1.2 空间向量基本定理-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 学习目标 1．了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(重点)3.会用基底表示空间向量，初步体会用空间向量基本定理求解立体几何中的简单问题．(难点) 知识点一　空间向量基本定理及有关概念 定理　如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． [微练1]　(多选题)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是(　　) A．{a，2b，3c} B．{a＋b，b＋c，c＋a} C．{a＋b＋c，b＋c，c} D．{a＋2b，2b＋3c，3a－9c} 解析：ABC　因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底； 对于D，a＋2b，2b＋3c，3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]， 所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底． 知识点二　空间向量的正交分解 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [微练2]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB＝5，AA1＝4，AD＝3.取、、上的单位向量i、j、k为一组基向量，如果＝xi＋yj＋zk，则x＝______，y＝________，z＝________． 答案：－5　3　4 题型一　基底的概念 　(链接教材P12练习1)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？ 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， 即不存在实数x，y，使＝x＋y成立． ∴，，不共面，故{，，}可以作为空间的一个基底． 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μ c，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 1．(多选题)(2022·山东枣庄高二期中)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的是(　　) A．a＋b，a－2b，c　　　 B．a－b，a＋3b，2a C．a，2b，b－c D．a＋c，a－c，c 解析：AC　 A √ 设a＋b＝x(a－2b)＋y c，则，无解，则该组向量不共面． B × 设a－b＝x(a＋3b)＋2y a，则，解得，则该组向量共面． C √ 设a＝2xb＋y(b－c)，则，无解，则该组向量不共面. D × 设a＋c＝x(a－c)＋y c，则，解得，则该组向量共面. 题型二　用基底表示空间向量 　 (链接教材P12例1)如图，四棱锥P -OABC的底面为矩形，PO⊥平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点．设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，，. 解：如图，连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c， ＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c， ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c， ＝＝＝a. 用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或