1.1.2 空间向量的数量积运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 学习目标 1．了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离．(难点) 知识点一　空间向量的夹角 定义与 范围 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，范围[0，π] 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b [微练1]　如图所示，在正方体ABCD -A′B′C′D′中，求下列各对向量的夹角： (1)〈，〉； (2)〈，〉； (3)〈，〉． 解：(1)〈，〉＝〈，〉＝； (2)〈，〉＝π－〈，〉＝π； (3)〈，〉＝〈，〉＝. 知识点二　空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2．运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 3.数量积的性质 (1)零向量与任意向量的数量积为0. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． (4)若a与b同向，则a·b＝|a||b|． 若反向，则a·b＝－|a||b|． (5)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝． (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π. (3)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c b＝c，(a·b)·c a·(b·c)． [微练2]　已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝3，|b|＝4，则(a－b)·b＝________． 解析：(a－b)·b＝a·b－b2＝3×4×(－)－16＝－22. 答案：－22 知识点三　空间向量的投影向量 1．在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． 2．向量a向直线l投影设直线l的方向向量为b，则向量a在l上的投影向量为c＝|a|cos〈a，b〉． 3.向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 设向量a的投影向量为c，则a－c与c有什么关系． 提示：垂直． 题型一　空间向量的数量积运算 　(链接教材P7例2)已知长方体ABCD - A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算： (1)·；(2)·；(3)·. 解：如图，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝b· ＝|b|2＝42＝16. (2)·＝·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)· ＝· ＝(－a＋b＋c)· ＝－|a|2＋|b|2＝2. 1．已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算． 2．对于具体几何图形中的向量数量积的运算，先将向量转化为已知线段长度或已知线线角的有向线段表示，再根据定义或运算规律运算． 1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的空间单位向量，则a·b＝(　　) A．1　　 B．2　 　 C．3　 　 D．4 解析：A　因为p⊥q且|p|＝|q|＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. 2．(多选题)(2022·湖北武汉十四中高二月考)已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· 解析：AC　如图所示，2·＝2||||cos 120°＝2a·acos 120°＝－a2，故A正确；2·＝2||||cos 60°＝2a·acos 60°＝a2，故B错误；2·＝2||||cos 180°＝2··acos 180°＝－a2，故C正确；2·＝2||||cos 120°＝2··acos 120°＝－，故D错误，故选AC． 题型二　利用数