1.1.1 第一课时 空间向量及其线性运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 第一课时　空间向量及其线性运算 学习目标 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程．(重点) 3.掌握空间向量的线性运算，学会类比的数学方法．(重点、难点) 知识点一　空间向量的概念 1．与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 2.空间向量用字母a，b，c，…表示．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||． 3．特殊向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 (1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等． (2)两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同． [微练1]　下列命题中，假命题是(　　) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 解析：D　由空间向量的定义知，空间向量具有大小和方向，所以任意两个空间向量不能比较大小，故A为真命题．选项B中命题显然为真命题．长度为0的向量叫做零向量，故C为真命题．共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题．故选D． 知识点二　空间向量的加法、减法及数乘运算 1．空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法 运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 (1)求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，必须共起点(三角形法则：共起点，指被减)． (2)空间向量线性运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同． 2．空间向量的数乘运算 定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，叫做空间向量的数乘． (1)当λ>0时，λa＝λ＝(与a同向且|λa|＝|λ||a|)； (2)当λ<0时，λa＝λ＝(与a反向且|λa|＝|λ||a|)； (3)当λ＝0时，λa＝0． [微练2]　化简－＋所得的结果是(　　) A．　　　　　　　 B． C．0 D． 解析：C　－＋＝＋＝0.选C． 知识点三　空间向量的线性运算律 1．交换律：a＋b＝b＋a． 2．结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c， λ(μa)＝(λμ)a．(其中λ，μ∈R) 3．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb．(其中λ，μ∈R) [微练3]　化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________． 解析：原式＝15a－10b＋8b－12a＝3a－2b或原式＝5(3a－2b)－4(3a－2b)＝3a－2b. 答案：3a－2b 题型一　空间向量的概念 1．下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足||>||，则> D．相等向量其方向必相同 解析：D　A中，单位向量长度相等，方向不确定；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小． 2．(多选题)(2022·重庆南开中学高二月考)下列说法中正确的有(　　) A．两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b C．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，必有＝ D．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p 解析：CD　对于A，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，A错误；对于B，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还