1.1.1 第二课时 共线向量与共面向量-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　共线向量与共面向量 学习目标 1．理解向量共线、向量共面的定义．(重点) 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面．(难点) 知识点一　共线向量 1．共线向量的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa． 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． (1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． (2)因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立，因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线． [微练1]　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)若A，B，C三点共线，则与共线．(　　) (2)向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．(　　) 答案：(1)√　(2)× [微练2]　已知非零空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D　　　　　　 B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：A　＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b ∴＝2，故A、B、D共线．选A． 知识点二　共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． [微练3]　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　　) (2)空间中任意三个向量一定是共面向量．(　　) (3)若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× [微练4]　对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析：A　由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量． 题型一　空间向量共线的充要条件及应用 　如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 解：方法一：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋ ＝＋＋.① 又∵＝＋＋＋ ＝－＋－－，② ①＋②得2＝， ∴∥，即与共线． 方法二：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝－＝(＋)－ ＝(＋)－(＋) ＝(－)＝(－) ＝. ∴∥，即与共线． 向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 1．下列条件中，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A．＋＝　　 B．－＝ C．＝ D．||＝|| 解析：C　对于空间任意三点都有＋＝，故A错误； 若－＝，则－＝，即＝，即B、C两点重合，故B错误； 由＝，则A，B，C三点共线，故C正确； ||＝||，则线段AB与BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，故D错误． 2．已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________． 解析：由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)， 所以＝(1－λ)＋λ， 所以m＝1－λ，n＝λ， 所以m＋n＝1. 答案：1 题型二　空间向量共面的充要条件及应用 　(1)(多选题)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋＋ C．＝＋＋ D．＝2－－ 解析：BC　方法一：A选项，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，∴A不正确； B选项，∵＝＋＋，∴3＝＋＋，∴－＝(－)＋(－)，∴＝＋，∴＝－－，∴P，A，B，C共面，故B正确； C选项，＝＋＋＝＋(＋)＋(＋) ＝＋＋. ∴－＝＋， ∴＝＋， 由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确； D选项，＝2－－，无