第三章 圆锥曲线的方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评课时作业（人教A版）

章末检测(三) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　) A．　　　　　　　 B．1或－2 C．1或 D．1 解析：D　由于a>0，0<a2<4，且4－a2＝a＋2，解得a＝1，故选D． 2．已知两定点F1(－5，0)、F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 解析：C　由双曲线定义知当a＝3时，轨迹是双曲线的一支；当a＝5时，是一条射线． 3．已知抛物线C：x2＝－2py(p＞0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y＝2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且|MF|＝6，则p＝(　　) A．4　　 B．6 C．8　　 D．10 解析：A　设M(x0，y0)，则解得p＝4，故选A． 4．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：D　因为抛物线y2＝8x的焦点是(2，0)，所以双曲线－y2＝1的半焦距c＝2.又b＝1且a>0，所以a＝，所以双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x. 5．(2022·江苏徐州一中高二期中)设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，3) B．(3，) C．(0，2) D．(0，3)∪(，＋∞) 解析：D　当椭圆的焦点在x轴上，即k>4时，a2＝k，b2＝4，所以e＝∈(，1)，所以<<1，解得k>；当椭圆的焦点在y轴上，即0<k<4时，a2＝4，b2＝k，所以e＝∈(，1)，解得0<k<3.故实数k的取值范围是(0，3)∪(，＋∞)．故选D． 6．从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　) A． B． C． D．2 解析：C　设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1， 所以x0＝4－1＝3，所以y0＝2， 所以P(3，2)，F(1，0)， 所以直线PF的斜率k＝＝. 7．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，与y轴相交于E点．已知|AF|＝7，|BF|＝3，若△AEF，△BEF的面积分别为S1，S2，且＝3，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 解析：B　如图，过A，B分别作C的准线的垂线，分别交y轴于点M，N，因为C的准线为x＝－，所以|AM|＝|AF|－＝7－，|BN|＝|BF|－＝3－，所以＝＝＝＝3，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，故选B． 8．已知P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，O为坐标原点，F1，F2为椭圆C的左、右焦点，若|OP|＝|OF2|，且tan∠PF2F1＝2，△PF1F2的面积为4，则该椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：A　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，因为|OP|＝|OF2|，所以|OP|＝|OF2|＝|OF1|，所以△PF1F2为直角三角形，即∠F1PF2＝90°，因为tan∠PF2F1＝2，所以m＝2n　①， 因为△PF1F2的面积为4，所以mn＝4，即 mn＝8　②， 由①②得n＝2，m＝4. 因为∠F1PF2＝90°，所以m2＋n2＝|F1F2|2＝4c2＝20，c2＝5，由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6，a＝3，b2＝4，故椭圆方程为＋＝1. 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝2x C．y2＝－4x D．y2＝－2x 解析：AC　由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点F，直线l：x＝， ∴A、B两点坐标为，，∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB的面积为4， ∴××2|p|＝4，∴p＝±2. ∴抛物线方程为y2＝±4x.故选AC． 10.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的交点，若|F1F2|＝|F1A|，则(　　) A．双曲线的渐近线为y＝±8x B．C2的