第四章 数列 拓展培优(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

拓展培优(01)　等差数列与等比数列的综合应用 1 等差数列与等比数列重点研究两个数列的通项公式与求和，两类数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个量可求其余两个量，体现了方程思想．解题时若能灵活利用数列的性质，可简化运算，优化解题过程． 1 1 已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝log2an，求证：数列{bn}是等差数列，并求其通项公式． 例 1 1 又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1 ＝log24＝2(n≥2)，b1＝log2a1＝1， ∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1. 1 跟踪训练 1 1 1 例 2 1 1 1 1．题目主要考查等差数列的定义，以及等差、等比数列的基本量的计算，逻辑推理与数学运算素养． 2．由Sn求an，注意分类讨论思想方法的运用，求Sn的最值体现了函数思想的应用． 反思感悟 1 2．设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)． 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 跟踪训练 1 1 1 类型三　等差(比)数列的实际应用 　若某地区2019年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2020年开始到2029年年底每年人口比上一年增加0.5万人，从2030年开始到2039年年底每年人口为上一年的99%. (1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式(注：2020年为第1年)； (2)若实施新政策后，从2020年到2039年年底平均每年的人口总数超过49万，则需调整政策，否则无须调整．试判断到2039年年底是否需要调整政策．(附：0.9910≈0.9) 例 3 1 1 1 1．根据题意，构建等差、等比数列模型，将S20分组转化为特殊数列求和，代入计算． 2．注意两点：(1)数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份；(2)正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和． 反思感悟 1 3．某企业资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．已知该企业2020年年底分红后的资金为1000万元． (1)求该企业2024年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元． 解：设an为(2020＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1000－500＝1500，a2＝2×1500－500＝2500，…，an＝2an－1－500(n≥2)． 跟踪训练 1 ∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)， 即数列{an－500}是首项为a1－500＝1000， 公比为2的等比数列． ∴an－500＝1000×2n－1， ∴an＝1000×2n－1＋500. (1)a4＝1000×24－1＋500＝8500， ∴该企业2024年年底分红后的资金为8500万元． (2)由an>32 500，即2n－1>32，得n>6， ∴该企业从2027年开始年底分红后的资金超过32 500万元． 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 1 $$ 拓展培优(02)　探求数列通项公式 1 求数列的通项公式多以小题的形式出现，但也可作为解答题．主要考查利用累加法、累乘法、公式法、构造转化等求数列的通项公式，利用通项公式求数列中的项、公差、公比等，试题较灵活． 1 例 1 1 1 (2)∵an＋1＝an＋n＋1， ∴an＝an－1＋n(n≥2，n∈N*)， ∴an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)， 则a2－a1＝2， a3－a2＝3， a4－a3＝4， … an－an－1＝n(n≥2)， 1 1 反思感悟 1 跟踪训练 B 1 1 (2)(2023·泰兴中学检测)在数列{an}中,a1＝1，且(2n－1)an＝(2n＋1)an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________． 1 1 类型二　利用an与Sn的关系求通项 　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，an＋1＝2Sn(n≥1)，则a2023＝(　　) A．2×32021　　　　　 B．32021 C．32022 D．2×32022 解析：由an＋1＝2Sn(n≥1)， 得Sn＋