4.3.2 第一课时 等比数列的前n项和公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第一课时　等比数列的前n项和公式 学习目标 1．探索并掌握等比数列的前n项和公式．　2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系，能用公式求解相关问题．　3.掌握错位相减法求数列前n项和的方法及应用． 知识点一　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ (1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知或是代数式时，要对公比分类讨论． (2)当q≠1时，若已知a1，q和n，则用Sn＝较方便，若已知a1，an及q，则用Sn＝较好． [微练1]　已知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝2，则Sn等于(　　) A．n2＋n　　　　　 B．n2－n C．2n＋1－2 D．2n－1 解析：C　Sn＝＝＝2n＋1－2. [微练2]　在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前4项和S4＝________． 解析：由a4＝a1q3，得＝q3，∴q＝， ∴S4＝＝2＝. 答案： 知识点二　等比数列前n项和公式的函数特性 1．当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(1－qn)，则Sn是n的指数型函数与常数的和． 2．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 当q≠1，Sn＝＝－·qn，所以Sn＝A－A·qn，可用指数函数的观点和方法认识理解等比数列的前n项和问题． [微练3]　设Sn为等比数列{an}的前n项和且Sn＝3n＋1－A，则A＝(　　) A．－　　 B．　　 C．－3　　 D．3 解析：D　由Sn＝3n＋1－A＝3·3n－A， ∴A＝3. [微练4]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．(　　) (2)等比数列的前n项和不可以为0.(　　) (3)数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一定是等比数列．(　　) (4)求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．(　　) 提示：(2)可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和． (3)由于等比数列的前n项和为Sn＝＝－qn.可以发现b＝－1时，数列{an}才为等比数列． 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 题型一　等比数列的前n项和的基本运算 　(链接教材P35例7)在等比数列{an}中， (1)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5. (2)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解：(1)法一：由题意知 解得从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (2)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或又Sn＝＝126， 当a1＝2，an＝64时，得q＝2. 当a1＝64，an＝2时，得q＝. 所以公比q为2或. [发散思维]　本例(2)中，若将条件改为“数列{an}是等比数列，且S3＝3a3”，求其公比q的值． 解：法一：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意． 当q≠1时，＝3a1q2， 因为a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)， 解得q＝－. 综上，q＝1或q＝－. 法二：由S3＝3a3，知a1＋a2＋a3＝3a3， 则a1(1＋q－2q2)＝0， 由于a1≠0，得2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. 1．在等比数列{an}的五个量，a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 1．已知等比数列{an}中，公比q＝2，如果an＝96，Sn＝189，试求a1和项数n. 解：法一：由Sn＝及已知条件， 得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. 法二：由Sn，an公式及题设条件，得 由①÷②，得＝. 所以2n＝64，因此n＝6. 将n＝6代入②式，得a1＝3， 综上可得a1＝3，项数n＝6. 题型二　前n项和公式Sn的函数特性 　已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋r，r∈R，判断{an}是不是等比数列，说明理由． 解：由Sn＝2n＋r，r∈R，得a1＝S1＝2＋r(n＝1)， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1. 令n＝1，则a1＝1， 当2＋r＝1，即r＝－1时，