4.3.2 第二课时 等比数列前n项和的性质及应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　等比数列前n项和的性质及应用 学习目标 1．理解并应用等比数列前n项和公式的性质解题．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 知识点　等比数列前n项和的性质 1．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn. (1)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn． (2)Sn＋m＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn．(m，n∈N*) 2．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，S偶∶S奇＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇＝a1＋qS偶． (1)对于有些数列问题，必须充分挖掘题目中的隐含条件(如n的奇偶性等)，若忽略这些隐含条件，将导致多解或漏解．(2)等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. [微练1]　已知等比数列{an}的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q等于(　　) A．　 　 B．1　 　 C．2　 　 D．4 解析：C　∵S3＝1，S6＝9， ∴S6－S3＝a4＋a5＋a6＝q3S3， ∴8＝q3，则q＝2. [微练2]　已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝6，则S6＝________． 解析：由题意知S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， ∵S2＝2，S4－S2＝4，∴S6－S4＝8， ∴S6＝8＋S4＝14. 答案：14 [微练3]　一个等比数列的项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________． 解析：由S偶＝q·S奇，得170＝85q， 所以q＝2. 答案：2 题型一　等比数列的连续n项之和的性质 　(链接教材P37例9)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28　　　　　　 B．32 C．21 D．28或－21 解析：A　∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)， 解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2， ∴S4＝28. [发散思维]　1.将例题中的条件改为“正项等比数列{an}的前n项和Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． 解：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，所以 所以或(舍去)，所以S4n＝30. 2．将例题中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． 解：法一：∵S99＝＝56，q＝2， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96) ＝a1q2·＝32. 法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56， ∴b1(1＋q＋q2)＝56. ∴b1＝＝8， ∴b3＝b1q2＝8×22＝32. 故a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32. 1．解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比的讨论． 2．解题时把握好等比数列前n项和性质使用的条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点． 1．(1)设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　) A．32　　 B．64　　 C．72　　 D．216 解析：B　由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16， 故其公比为q＝2， ∴S9－S6＝32，S12－S9＝64， ∴a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64. (2)(2023·山东临沂高二检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝4，则公比q＝__________，＝________． 解析：∵S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3S3， ∴＝1＋q3＝4，所以q3＝3，则q＝. 又S9＝S6＋q6S3＝(1＋q3＋q6)S3， 故＝＝＝. 答案：　 题型二　等比数列的不连续n项和的性质 　一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式． 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶． 由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，∴S奇＝3S偶． ∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝. 又a1·a1q·a1q2