4.3.1 第一课时 等比数列的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．3.1　等比数列的概念 第一课时　等比数列的概念 学习目标 1．理解等比数列的概念，理解等比中项的概念．　2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．　3.掌握等比数列判断与证明的方法． 知识点一　等比数列 1．定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． 2．符号表示 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) (1)等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要，切记不可丢掉；分子与分母不可颠倒． (2)公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数． [微练1]　(多选)下列数列为等比数列的有(　　) A．2，22，3×22 B．，，，，(a≠0) C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5 D．1，1，1，1，1 解析：BD　≠，所以A不是等比数列；B是首项为，公比为的等比数列；当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，C不是等比数列；显然D为等比数列． [微练2]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)等比数列中的任何一项均不能为零．(　　) (2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列．(　　) (3)常数列既是等差数列又是等比数列．(　　) 提示：(2)应为同一个常数．(3)0数列除外． 答案：(1)√　(2)×　(3)× 知识点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． (1)若ab>0，则a，b的等比中项为±；若ab≤0，则a，b等比中项不存在． (2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列． [微练3]　已知1，a，4成等比数列，则a＝(　　) A．2　　 B．－2　　 C．±2　　 D．16 解析：C　由a2＝1×4＝4，∴a＝±2. 知识点三　等比数列的通项公式 首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an＝a1qn－1． [微练4]　等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　) A． B． C． D．－ 解析：C　依题意∴q3＝，则q＝. [微练5]　等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项是________． 解析：由题意知，(3x＋3)2＝x·(6x＋6)， 解得x＝－3或x＝－1(舍)， ∴公比q＝＝2， ∴a4＝－3×23＝－24. 答案：－24 题型一　等比数列的通项公式及应用 　(链接教材P29例1)在等比数列{an}中， (1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； (2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式． 解：(1)∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4·2n－1＝128， ∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6. (2)∵an＝a1·qn－1＝625，n＝4，q＝5， ∴a1＝＝＝5. (3)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·(－2)n－1＝(－1)n－12n. 1．求等比数列{an}的通项公式的常用方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an. (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性． 2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 1．在等比数列{an}中． (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：(1)因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)因为 由，得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×＝1，则n＝6. 题型二　等比中项及其应用 　(2022·全国乙卷改编)已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解：设等比数列{an}的公比为q，首项为a1， 由题意， ∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)． 由②÷①，得q(1－q)＝，则q＝， ∴a1＝＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5a7＝aq10＝962×＝9， ∴a5与a7的等比中项是±3. 1．如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比