4.3.1 第二课时 等比数列的性质及其应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　等比数列的性质及其应用 学习目标 1．类比等差数列的性质，理解掌握等比数列的性质，能应用等比数列的性质解决简单问题．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 知识点一　等比数列通项公式的变形推广 1．(1)an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)等比数列{an}的图象是指数型函数f(x)＝·qx的图象上的孤立点． (1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列． 2．设{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*)． 公式an＝am·qn－m中的n，m都属于正整数，n>m，n＝m，n<m都成立． [微练1]　在等比数列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，则数列{an}为(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定单调性 解析：A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8， 解得q＝2.又a1>0，所以数列{an}为递增数列． [微练2]　在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a20＝________． 解析：由a8＝a4·q4，∴q4＝3， 又a20＝a4·q16＝6×(q4)4＝6×34＝486. 答案：486 知识点二　等比数列的性质 在等比数列{an}中，设{an}的公比为q. (1)若m＋n＝s＋t(m，n，s，t∈N*)，则am·an＝as·at． ①如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，则am·an＝a． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. (2)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列． 特别地，若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk． 等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}(c为常数且c≠0)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{a}(m为常数，n∈N*)是公比为qm的等比数列． (2)两个等比数列{an}与{bn}的积、商构成的数列{anbn}、仍为等比数列． [微练3]　若{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等比数列的是(　　) A．{an＋bn}　　　　　 B．{an－bn} C．{anbn} D．{an＋5} 解析：C　由等比数列的性质，{anbn}仍是等比数列；取an＝1，bn＝－1，an＋bn＝0，A错；取an＝bn，B错；若an＝2n时，{an＋5}不是等比数列，D错误． [微练4]　等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于________． 解析：由题意知，a2a15＝a7a10，则3a15＝36， ∴a15＝12. 答案：12 [微练5]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项．(　　) (2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap.(　　) (3)等比数列{an}中，项a1，a3，a5，a7成等比数列．(　　) (4)若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}(a>0，且a≠0)为等差数列．(　　) 提示：(2)由am·an＝aqm＋n－2，ap＝a1qp－1， ∴aman≠ap. 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 题型一　等比数列性质的应用 　(链接教材P30例2)已知{an}为正项等比数列． (1)若a5＝8，a7＝2，求an； (2)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：(1)由a7＝a5·q2得q2＝. 因为an>0，所以q＝， 所以an＝a5·qn－5＝8×＝. (2)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5. (3)根据等比数列的性质，得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝l