4.2.2 第一课时 等差数列的前n项和公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第一课时　等差数列的前n项和公式 学习目标 1．探索并掌握等差数列前n项和公式．　2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 知识点一　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋ Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用．当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d. [微练1]　等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝2，则前10项的和S10＝________． 解析：∵a1＝2，d＝2， ∴S10＝10a1＋d＝110. 答案：110 [微练2]　在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　) A．5或7　　　　　 B．3或5 C．7或－1 D．3或－1 解析：D　由题意得a1＋(n－1)×2＝11，① Sn＝na1＋×2＝35，② 由①②解得a1＝3或－1. 知识点二　等差数列前n项和的常用性质 1．若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d． 2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 3．(1)若等差数列{an}有(2n－1)项，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝. (2)若等差数列{an}有2n项，则S偶－S奇＝nd，＝. [微练3]　已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　) A．5　　 B．4　　 C．3　　 D．2 解析：C　由S偶－S奇＝30－15＝5d，得d＝3. [微练4]　在等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________． 解析：由题意易知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，∴S6＝15. 答案：15 题型一　等差数列前n项和的有关计算 　(链接教材P21例6)(1)(2023·安徽六安一中高二检测)在等差数列{an}中，已知a4＝3，a6＝7，则数列{an}的前9项和S9为(　　) A．－11　　 B．13　　 C．45　　 D．117 解析：C　依题意，S9＝＝＝45. (2)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2021，S6－2S3＝18，则S2023＝(　　) A．－2021 B．2021 C．2022 D．2023 解析：D　设等差数列{an}的公差为d， ∵a1＝－2021，S6－2S3＝18， ∴6a1＋·d－6a1－2×·d＝18， 整理可得9d＝18，解得d＝2. 则S2023＝2023×(－2021)＋×2＝2023. 计算等差数列前n项和Sn注意以下几点： (1)①利用方程思想，计算出基本量a1和d.②选择求和公式，整体代入计算． (2)灵活利用等差数列的项的性质，将等差数列的前n项和转化为已知项和项数进行计算． 1．(1)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　) A．a7 B．a8 C．S15 D．S16 解析：BC　由a1＋a15＝2a8，得a1＋a8＋a15＝3a8是定值，可得a8是定值， S15＝×15×(a1＋a15)＝15a8， 故S15为定值． (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解：∵a1＝4，S8＝172，∴＝172， 则a8＝39，又a8＝a1＋7d＝39， ∴39＝4＋7d，则d＝5. 题型二　等差数列前n项和性质及应用 　(1)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　　) A．10 B．100 C．110 D．120 解析：B　∵{an}是等差数列，a1＝1， ∴也是等差数列且首项为＝1. 又－＝2，∴的公差是1， ∴＝1＋(10－1)×1＝10， ∴S10＝100. (2)有两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为Sn和Tn.若＝，则等于___________． 解析：由{an}，{bn}是等差数列，＝， 不妨设Sn＝kn(2n＋1)，Tn＝kn(n＋2)(k≠0)， 则an＝3k＋4k(n－1)＝4kn－k， bn＝3k＋2k(n－1)＝2kn＋k. 所以＝＝. 答案： (3)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m. 解：法一：依据题设和前n项和公式有 ②－①得ma1＋d＝70， ∴S3m＝3ma1＋d ＝3＝3×70＝210. 法二：由