4.2.2 第二课时 等差数列前n项和的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

第二课时　等差数列前n项和的应用 学习目标 1．会求等差数列前n项和的最值．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 知识点一　等差数列的前n项和Sn的函数特征 等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n. (1)当d≠0时，Sn＝An2＋Bn(A≠0)，是n的二次函数，其中常数项为0. 等差数列前n项和对应的点(n，Sn)的集合是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的离散分布的孤立的点集． (2)当d＝0，且a1≠0时，Sn＝na1是关于n的一次函数形式． [微练1]　数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________． 解析：∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ， ∴1＋λ＝0，∴λ＝－1. 答案：－1 知识点二　等差数列前n项和的最值 1．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n由an≥0且an＋1≤0确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由an≤0且an＋1≥0确定． 2．因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值． [微练2]　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－48n，则Sn的最小值为____________，此时n＝____________． 解析：Sn＝n2－48n＝(n－24)2－576， 由n∈N*知，当n＝24时，Sn有最小值－576. 答案：－576　24 [微练3]　思考辨析(判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”) (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(　　) (2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有的非负项之和最大．(　　) (3)等差数列{an}中，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值．(　　) (4)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，则Sn在n＝(p＋q)处取得最大值或最小值．(　　) 提示：(4)当(p＋q)是正整数，即p＋q是偶数时结论才成立． 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 题型一　等差数列前n项和最值 　(链接教材P23例9)数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前多少项和最大？ 解：(1)法一(公式法)： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二(结构特征法)： 由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)法一(公式法)： 令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零， 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二(函数性质法)： 由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，距离最近的整数为16，17. 由Sn＝－n2＋33n的图象(图略)可知： 当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． [发散思维]　1.若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－11，a3＋a7＝－6”，求Sn最小值． 解：由题设，知解得d＝2， 则Sn＝－11n＋×2＝n2－12n， 所以当n＝6时，Sn取得最小值－36. 2．将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值． 解：法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2. Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. ∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：由S9＝S17，得a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以a13>0，a14<0. 故当n＝13时，Sn有最大值169. 在等差数列中，求Sn的最大(小)值的方法： (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． ①利用二次函数配方法求最值；②借助二次函数图象的对称性，但要注意n∈N*的条件限制． 1．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn为数列的前n项和． (1)求Sn； (2)求Tn的最小值． 解：(1)设数列{an}的公差为d. 依题意有